平面向量专题复习知识梳理2014印用.doc

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1、平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）；单位向量、基底、正交基底；向量的模（或向量的长度）；（二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：向量求和的三角形法则；向量求和的平行四边形法则；向量减法法则；数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：；2.向量共线的条件：结论1（平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使．特别地，三点共线．结论2：若不重合，则三点共线存在实数，使且3（平面向量基本定理）设

2、是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使．这里称为向量关于基底的分解式。4.平面向量的坐标表示及运算设，则有：；；；；5.向量的数量积：两个向量的数量积：，其中为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①；②夹角公式；（坐标形式）③即（用于求模）；④；（坐标形式）⑤（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例：6.三角不等式，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2.关于

3、垂心H，有性质；3.关于外心O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。二、典型例题例1.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2．在中，，M为BC的中点，则______.（用10表示）例3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量()（A）（B）（C）（D）例4①在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点，已知,,,,试用表示.②如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．PABCMN例5、如图在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3

4、,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且，，试用、表示例6．与向量=的夹角相等，且模为1的向量是()(A)(B)或（C）（D）或例7．设向量与的夹角为，且，，则________．例8.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=（）（A）（B）（C）（D）例9.已知向量=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在直线l上的射影分别为和，且λ，则λ=（）A．B．-C．2D．-2例10（1）求证:，其几何意义是。（2）若,则（3）已知,,,则与的夹角为（4）已知中每两个向量夹角都为且,,,求值.例11.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同

5、向，其中，则（）（A）（B）（C）（D）例12*①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成∶的两条线段。②求证三条高相交于一点．例13①已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心②在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是③设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=。④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（）10A、外心B、内心C、重心D、垂心10向量练习题一班级______姓名__

6、_______一、选择题1．已知平面向量a=，b=，则向量()A平行于轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为()(A．6B．2C．D．3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）A．B．C．D．4．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为().A．B．C．D．5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）（A）（B）（C）（D）6．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的

7、延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．7．已知平面向量，，且//，则＝（）A、B、C、D、8．已知平面向量，，与垂直，则是()A．1B．1C．2D．29．若向量满足，与的夹角为，则()A．B．C．D．210．已知平面向量，则向量()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是()（A）（B）（C）（D）12．已知向量，若与垂直，则()A．B．C．D．4二、填空题1．若平面向量，满足，平行于轴，，则．2．已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=3．已知向量和的夹角为，，则．4．已知向量，，且，则=．5．设O、A、B、C为平面上

8、四个点，＝，＝，＝，且，，则＝____