初中数学竞赛试题4.doc

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1、初中数学竞赛试题4一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分）1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则的值等于(　　).(A)(B)(C)(D)2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费().(A)2.4元

2、(B)2.8元(C)3元(D)3.2元3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.(A)360°　　(B)450°　　(C)540°　(D)720°（第3题图）（第4题图）4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）.(A)2个　(B)3个　　(C)4个　(D)6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这

3、样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有().(A)1种　　(B)2种　(C)4种　(D)0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，那么.7．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为.8．观察下列图形：①②③④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为.（第9题图）9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60ºCD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_______m.10．已知二次函数（其中a是正整数）的图

4、象经过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要

5、有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.(第13B题图)14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13A和14A

6、两题可留作考试后的研究题。13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.解：(第13A题图)14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明

7、理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.解：（1）（2）2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由解得代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°

8、，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.(第3题图)(第4题图)4．D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，，；当CD=5时，，；