数学专题讲座精品大全：函数与方程

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1、高考数学专题复习讲座专题1：函数与方程函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式y=f(x)，那么这个解析表达式可以看成是一个方程，一个二元方程，两个变量间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数的话，那么这个方程可以看成是一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看作函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究

2、，得出所需的结论。方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。对于函数思想，应深刻理解一般函数y=f(x)、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。【例题解析】【例1】（1）已知集合A={x

3、x2－ax+a2－19=0}，集合B={x

4、log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x

5、m=1,m≠0，

6、m

7、≠1}满足A∩B，A∩C=，求实数

8、a的值；(2)已知集合P={x

9、x2－5x+4≤0},Q={x

10、x2－2bx+b+2≤0}满足PQ，求实数b的取值范围。解（1）由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2A。将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0∴a=－2或a=5当a=－2时，A={x

11、x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。当a=5时,A={x

12、x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去。综上得：a=－2。（2）显然P={x

13、1≤x≤4}，记f(

14、x)=x2－2bx+b+2若Q为空集，则由Δ<0得：194b2－4(b+2)<0∴－1

15、，求实数m的取值范围。分析，依题意知tgA+tgB=－mtgA·tgB=m+1∴方程的两个实根均在(0,1)内，下面将方程转化为函数，求m的取值范围。令=，函数与x轴有两个交点，且交点在(0,1)内，又函数的对称轴方程为19【例1】设是函数的反函数图象上不同的三点，若使y1、y2、y3成等差数列的实数x有且仅有一个，求实数a的取值范围。分析：函数的反函数为故问题转化为方程只有一个实根时，求a的取值范围。方程等价于（1）当，满足x>a，∴满足条件。（2）当∵满足条件，故。由，解得a>0又当a=0时

16、，P、Q、R三点重合，故a0∴当a>0或时，方程只有一个实根，19∴所求a的范围是a>0或。【例1】已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)（1）若f(5)=9,求：f(－5);（2）已知x∈[2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。解：（

17、1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。∴f(x)=f[(x－2)+2]=f[2－(x－2)]=f(4－x)=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))=f(x+10)∴f(x)是以10为周期的周期函数。∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2当x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－20)∈[4,7∴f(x

18、)=f(x－20)=f[4－(x－20)]=f(24－x)=(x－22)2∴g(x)=∵x∈[16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36∴g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在[－1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=019所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。注题中（2）可根据函数图像的对称性