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《数理经济学第5章课后题答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。maxf(x,x2)xx2，（2maxorminf(x1,x2)x12x2（1）11）x22s.t.x14x216s.t.2x123maxorminf(x,y)xy（3）22和s.t.xyy11x解：（1）首先写出拉格朗日函数：L(x1,x2,)x1x2(16x14x2)将L对x1，x2和分别求偏导数可得：Lx1x20Lx2x140L16x14x20解得x18,x22，2，此时f16。则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。（2）首先
2、写出拉格朗日函数：L(x1,x2,)x12x2(32x12x22)将L对x1，x2和分别求偏导数可得：Lx12x1x24x10Lxx122x202L32x12x220解得x11,x21，1f1；或者x11,x21，12，此时，此时2f1；或者x1,x1，11；或者x1,x1，12，此时f2，1212此时f1。则点(1,1)、(1,1)、(1,1)和(1,1)为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。（3）首先写出拉格朗日函数：L(x,y,1,2)xy1(1x2y2)2(1xy)将L对x，y，1和2分别求偏导数可得：Lxy21x2Lyx21y200L1x2
3、y201L21xy0解得x1,y0,11,21，此时f0；或者x0,y1,11，2221，此时f0。则点(1,0)和点(0,1)为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2．利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解：（1）对Lxx20，Lx2x140求偏导数可得LxxLxx0，11122Lx1x2Lx2x11，加边元素gx11，gx24。所以，海赛加边行列式为：011H10480140所以，由定理5.2得，在x18,x22处函数取得极大值f16。（2）对Lx2x1x24x10，Lxx122x20求偏导数可得Lxx2
4、x24，1211Lx2x22,Lx1x2Lx2x12x1，加边元素gx14x1，gx22x2。所以，海赛加边行列式为：2x242x14x1H2x122x24x12x20当x11,x211，时，2024H212480420所以，由定理5.2得，在x11,x21处函数取得极大值f1。当x11,x21，1时，2024H212480420所以，由定理5.2得，在x11,x21处函数取得极小值f1。当x11,x211，时，2024H212480420所以，由定理5.2得，在x11,x21处函数取得极大值f1。当x11,x21，1时，2024H212480420所以，由定理5.
5、2得，在x11,x21处函数取得极小值f1。（3）对Lxy21x20，Lyx21y20求偏导数可得LxxLyy2，LxyLyx1，加边元素g1x2x，g1y2y，g2xg2y1，gy1。所以，海赛加边行列式为：212x1H122y12x2y001100当x1,y0,11,21时，21121H11012004001100当x0,y1,11，1时，22110111210H204001100所以，由定理5.2得，在x1,y0或者x0,y1处函数取得极大值f0。3．求函数f(x,y,z)xyz2在约束x2y2z20和y0下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数：L(x,y
6、,z,1,2)xyz21(x2y2z2)2y将L对x，y，z和1,2分别求偏导数可得：Lx121x0Ly121y20Lz2z21z0Lx2y2z201Ly02解得该方程无实解，存在虚数解：x1,y0,z1i，11,21，此时22f1。44．利用海赛加边行列式确定下面每一小题的z值是极大值还是极小值。（1）zxy满足约束x2y2；（2）zx(y4)满足约束xy8；（3）zx3yxy满足约束xy6；（4）zx2y7满足约束xy0。解：（1）首先写出拉格朗日函数：L(x,y,)xy(2x2y)将L对x，y和分别求偏导数可得：Lxy0Lyx20L2x2y0解得x1,y1，2
7、对Lxy0，Lyx20求偏导数可得LxxLyy0，LxyLyx1，加边元素gx1，gy2。所以，海赛加边行列式为：011H10240120所以，由定理5.2得，z(1,1)1为目标函数的极大值。22（2）首先写出拉格朗日函数：L(x,y,)x(y4)(8xy)将L对x，y和分别求偏导数可得：Lxy40Lyx0L8xy0解得x6,y2,6，对Ly40，Lyx0求偏导数可得LxxLyy0，LxyLyx1，加边x元素gxgy1。所以，海赛加边行列式为：011H10120110所以，由定理5.2得，z(6,2)36为目标函数的极大值。（3）首先写出拉格朗日函数：L(x,
