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《离散数学第3章(12-13)(新教材)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十二节*相容关系从等价关系的三个条件中去掉第三个传递性条件,就得到我们下面要研究的相容关系.定义12.1(相容关系)设R是集合A上一个二元关系,如果关系R同时具有(1)自反性,(2)对称性,那么就称R是集合A上一个相容关系.(注)从相容关系的关系矩阵来看,由于它有自反性,故而其关系矩阵的主对角线上所有元素均为1;由于它有对称性,故而其关系矩阵还是一个对称矩阵.从相容关系的关系图来看,每个元素所在的顶点必有一条自回路,且每两个结点之间,要么没有任何有向边相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.例1.设集合B={a,b,c,d},则集合B的幂集(B)是一个有16个元素的一个集合,
2、取(B)的一个如下的子集AA={{a},{d},{a,b},{b,c},{b,c,d}},作集合A上如下定义的关系R:R当且仅当x和y含有B中至少一个相同的元素.如果我们将集合A中的元素简记为:x1={a},x2={d},x3={a,b},x4={b,c},x5={b,c,d}.那么关系R可以用通常序偶的形式表示如下:R={,,,,,,,,,,,,,,}.显然
3、,这样定义的关系是集合A上的相容关系.定义12.2(相容类)设R是集合A上的一个相容关系,B是A的一个子集.如果x,yBR,那么就称B是由相容关系R产生的一个相容类.在上面的例1中,集合A的以下诸个子集都是所给相容关系的相容类{x1,x3},{x2,x5},{x3,x4},{x3,x4,x5}.在这几个相容类中,{x1,x3},{x2,x5}以及{x3,x4,x5}这三个相容类不能再添加A中的任何元素加以扩大了,而其中的{x3,x4}可以添加中的元素x5扩大成一个新的更大的相容类.为了区分这两种情形,我们给出下面的定义.定义12.3(最大相容类)设BA是由相容
4、关系R产生的一个相容类,且不存在集合A的任何其他子集B1,使得BB1,BB1,且B1也是相容关系R产生的一个相容类,则称B是一个最大相容类(或者极大相容类).在上面的例1中{x1,x3},{x2,x5}以及{x3,x4,x5}这三个相容类都是最大相容类,而{x3,x4}不是最大相容类.由于集合A上的相容关系一定满足自反性和对称性,因此对于集合A上给定的相容关系,可以按照下述方法对它的关系图加以简化,为此我们进一步给出以下的定义.定义12.4(相容关系图)设R是给定集合A上的一个相容关系,画出R的关系图,再作如下简化:[1]从它的关系图中略去每个顶点处的自回路(环);[2]如
5、果对某两个元素a,bA有,R,则在该关系图中的顶点a与b之间只保留一条边(改画成无向边).这样简化后得到的图称为这个相容关系的相容关系图.从一个给定的相容关系的相容关系图可以更清楚地看出所给相容关系的极大相容类.为此我们给出下面的定义.定义12.5(完全多边形)一个多边形,如果它的每两个顶点之间恰有一边相连,称之为一个完全多边形.在一个图中,一个不能包含在另外任何一个更大的完全多边形内的完全多边形称为一个最大完全多边形.例如,一个三角形总是一个完全多边形,一个四边形加上它的两条对角线也是一个完全多边形等等.由此我们容易看出有下面的结论成立.定理12.1在一
6、个相容关系的相容关系图中,以下图形中的顶点集合都是一个最大相容类:(1)每个单独的孤立顶点;(2)不包含在任何更大的完全多边形内的两个顶点以及连接这两点的一条边;(3)任何一个最大完全多边形.请读者对例1作出它的相容关系图来,并利用此定理的结论判断其中有哪些最大相容类.下面的定理给出了集合的覆盖与相容关系之间的部分联系.定理12.2设T={S1,…,Sm}是集合A的一个覆盖,那么就是集合A上的一个相容关系.这个定理的证明很简单,我们把它留给读者自己去完成.定理12.2告诉我们,对于集合A的每个完全覆盖,都有一个相容关系与之对应;反过来,对于集合的每个相容关系,利用与
7、等价关系的讨论中类似的方法也可证明有一个完全覆盖与之对应.但是集合的完全覆盖与相容关系之间一般并不存在如同集合的分划与等价关系那样的一一对应关系.请看下面的例子.例2.设给定集合A={a,b,c,d}上两个不同的完全覆盖T1={{a,b},{a,c,d}},T2={{a,b},{a,c},{a,d},{c,d}}.试计算它们所产生的两个相容关系.解:(1){a,b}{a,b}={,,,},{a,c,d}{a,c,d}={,