反演模型分辨率的估算方法.pdf

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1、第22卷第4期cT理论与应用研究Vo1．22，No．42013年1O月(587—604)CTTheoryandApplicationsOct．，2013冯梅，安美建．反演模型分辨率的估算方法[J]．cT理论与应用研究，2013，22(4)：587—604．FengM，AnMJ．Howtodeterminespatialresolutionforaninverseproblem[J]．CTTheoryandApplications，201322(4)：587—604．反演模型分辨率的估算方法冯梅函，安美建(中国地质科学院地质力学研究所，北京100081)摘

2、要：反演问题的时空间分辨率或称时空分辨长度是评估模型精细程度的重要参数，决定了该模型应用的范围和价值，但是分辨长度估算却是比反演更复杂和麻烦的数学问题。除了层析成像中广泛利用理论模型恢复试验定性提取空间分辨长度外，通过求解分辨率矩阵可定量获得分辨长度。通过矩阵操作给出的分辨率矩阵包括三类：直接分辨率矩阵、正则化分辨率矩阵和混合分辨率矩阵。这三类矩阵包含了反演本身不同侧面的信息，因此在一个反演应用中，同时提供这三类分辨率矩阵可更全面地评估反演模型分辨率分布。最近An(2012)提出了从大量随机理论模型及其解中统计出分辨率矩阵的方法。这种分辨率矩阵是从模拟真

3、实反演实验的输入和输出模型中通过反演得到的，因此这种分辨率矩阵更能反映整个反演所涉及到的更多因素和过程；同时由于这种分辨率矩阵计算过程无需进行矩阵操作且不依赖于具体正演和反演方法，因此可以被应用于更普遍的反演问题。实际应用证明统计分辨率分析方法适用于对二维和三维层析成像反演模型进行分辨率分析。关键词：分辨长度；分辨率矩阵；反演；模型评估文章编号：1004—4140(2013)04—0587—18中图分类号：P315文献标志码：A在实际研究中，我们往往需要通过在物体外部进行观测来了解该物体内部的情况。从数学上来说，外部观测可表示为一个包括个观测的观测矢量，

4、将希望获得的信息表示为一个由个参数构成的模型矢量J，l(各参数可表示为：，i：l，2，⋯，)。基于物理学知识，可以建立从模型到观测量的正演方程=g)。从外部观测量来获得内部未知信息的过程是一个典型的求解反演方程J，l=g-g)的过程，即利用观测矢量d和观测算子g的实际或广义的逆来最终获得模型矢量的解，这里表示为(，，⋯，)。如果观测误差是已知的，那么解的变化范围5m也可以利用反演方程获得。解的变化范围丝表示了测量值与真值的接近程度，即可称为一般意义上的精度。但在地球科学中，图件或模型的精度往往指的是空间精细程度，即是一般意义上的(空间)分辨率。求解以上反

5、演问题是一个典型的数学问题，很多课本对如何获得各种反演问题的解进行了详细介绍n。例如，常见的层析成像是观测量和未知量都非常多的稀疏矩阵线性反演问题，最小二乘正交分解(LSQR)可以很好地求解这种问题；即使对于复杂的非线性反演问题，人们也可以获得它们的全局解。收稿日期：2013—03—07。基金资助：中国地质调查项目(12120113101400)；国家自然科学基金(41174039；40874021)。cT理论与应用研究22卷对于一个纯数学问题，在获得了问题的解肌和解的不确定范围胁之后，这个反演问题的分析基本就结束了；但对于一些实际应用的反演问题来说，对

6、模型精细程度的评估却是反演过程中最关键的一环，虽然这一环节往往被忽视。对于一些与时空有关的应用数学问题(比如地球物理学问题)，模型小的每一个参数f)代表了某个时空位置的信息，即这个参数也可以表示为，Y，z，f)。这时，在某个空间位置，，Z，的解丝所代表的时空尺度或者说该解代表了多大时空范围的平均信息是评估该解应用价值的主要指标，这个最小可探测时空尺度被称为时空分辨率(temporalandspatialresolution)。比如，给出地球上某点温度的时候，不但需要给出温度的变化范围，同时更需要给出其时空分辨长度。如果所给温度的时间分辨长度是1分钟、空间

7、分辨率是1m的话，这说明了这个温度值只代表了所测时间1分钟以内和在1m空间范围内的平均温度。与解朋本身和解的变化范围(或称精度)J，l一样，解的时空分辨率是一个对与时空相关参数进行反演分析过程中不可缺少的。一般常见的时空分辨率是最小可探测空间尺度，即被称为空间分辨率(spatialresolution)或分辨长度(resolutionlength)。在地球科学中，图件或模型的精度往往指的就是其空间分辨率，而不是一般意义上的精度(测量值与真值的接近程度)。通过求解反演方程来获得解朋和解的不确定范围5m已经不再是困难的事，但是估算一个反演问题的时空分辨率却是

8、较复杂和麻烦的事。多数有关反演问题的课本没有对时空分辨率进行详细介绍，甚至除了层