扬州大学物理科学与技术学院

《扬州大学物理科学与技术学院》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章粒子的经典与量子分布§5.1玻耳兹曼分布§5.2热力学公式§5.3玻色分布和费米分布§5.4经典公式§5.5理想气体的热力学函数§5.6Maxwell速度分布律§5.7能量均分定理及其应用§5.8固体热容量§5.9顺磁性固体1重点：掌握经典Boltzmann分布，费米狄拉克分布，玻色子－爱因斯坦分布。主要内容：由等几率原理从系统微观状态出发给出粒子的最可几分布，以及相应的热力学公式。第五章粒子的经典与量子分布2上节求出了与一个分布相对应的系统的微观状态数。根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可能的微现状态出现的几率是相等的。因此，微观状态

2、数最多的分布，出现的几率将最大，称为最可几分布。本节导出在定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布。先证明一个近似等式：§5-1玻耳兹曼分布其中m是远大于1的整数。3证明：上式右方等于如图中一系列矩形面积之和，各矩形的宽为1，高分别为：当m远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以其中m是远大于1的整数。1、斯特令公式42、玻耳兹曼分布粒子数为，称为分布粒子能级为，简并度为；5取对数，得假设所有的都很大为方便将简记为定域系统中粒子的最可几分布是使为极大的分布。W6为了求得使的变化，将有为使有极大分布为极大的分布，令有的变化。7但不完全是独立

3、的，它们必须满足条件：用拉格朗日(Lagrange)未定乘子和乘这两个式子并从中减去，得：根据拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以得：8其中对粒子的所有量子态s求和.此为定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布能级的量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数应该是相同的。因此，处在能量为的量子态s上的平均粒子数为：9第一，上面我们只证明了玻耳兹曼分布使取极值。要证明这个极值为极大值，还要证明玻耳兹曼分布使的一级微分等于零，即且二级微分小于零。这就证明了玻耳兹曼分布是使为极大的分布。第二，玻耳兹曼分布是出现几率最大的分布。从原则上说，在给定N,E,V的

4、条件T，满足下列条件的分布都是可以实现的。几点说明：10§5-2热力学公式1、配分函数Z定义函数Z：内能是系统中粒子无规运动的总能量。112、内能是内能的统计表式。123、广义力Y无穷小过程：Y为外参量y相应的广义力粒子的能级是外参量的函数。外参量y的改变，外界施于处在能级上的一个粒子的力为准静态过程13因此外界对系统的广义作用力Y为：是广义作用力的统计表式。一个重要特例是14在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统所作的功是：将内能求全微分，可得第一项：能级的改变引起的内能的变化,代表在准静态过程中外界对系统所作的功。第二项：粒子分布发生

5、改变引起的内能变化,代表在准静态过程中系统从外界吸收的热量。热量是在热现象中所特有的宏观量，是没有相对应的微观量的。4、内能讨论155、玻耳兹曼常数k用乘上式，得：配分函数Z是，y的函数，16因此得也是的积分因子都是的积分因子，我们可以令的全微分为：理想气体17是熵的统计表式。可以知道，如果求得系统的配分函数Z，就可以求得系统的基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。因此Z是以y，(对于简单系统即T,V)为变量的特性函数。在热力学中讲过，以T,V为变量的特性函数是自由能F=U-TS6、热力学函数的表达式1）熵的表达式18熵函数的统计意义

6、以及熵增加原理和能斯脱定理的统计解释。由熵函数的统计表式：19而由玻耳兹曼分布公式：可得：所以S可以表为：玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义，系统在某个宏观状态的熵等于玻耳兹曼常数k乘相应微观状态数的对数。在热力学部分曾提到，熵是混乱度的量度，某宏观状态对应的微观状态数众多，它的混乱度就愈大，熵也愈大。称为玻耳兹曼关系。20玻耳兹曼关系是在系统处在平衡状态的条件下得到的。但是微观状态数对于非平衡态也有意义。假设孤立系统包含1，2两部分，每一部分各自处在平衡状态，但整个系统没有达到平衡。我们用和分别表示两个部分的微观状态数，两个部分的熵为整个系统的微观状态数

7、当整个系统达到平衡状态后，它的微观状态数为，熵系统的熵为21是在所给定的孤立系条件下与最可几分布相对应的微观状态数。显然系统处在它的高能级的几率随着温度的降低而减少。在绝对零度下，系统将处在它的最低能级。在系统的能级为分立的情况下，系统在绝对零度下的熵为：其中是系统基态能级的简并度。假如系统的最低能级是非简并的，即扬州大学物理科学与技术学院03级《热力学统计物理》，物理教研中心22§5.3玻色分布和费米分布处在平衡状态的孤立系统具有确定的粒子数N，体积V和能量E（E到E+之间）。粒子能级为，简并度为；粒子数为，称为分布设给定的宏观条件为:本节导出在玻色系统和

8、费米系统中粒子的最可几分布。23玻色系统费密系统W2