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1、数学所讲座,2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起报告摘要本报告围绕基于牛顿运动方程的太阳系的稳定性问题（简称“稳定性问题”），简要介绍天体力学和动力系统的若干交叉发展历史片段，特别侧重于介绍在解决“稳定性问题”的过程中发展起来的某些动力系统基本概念、基本方法和基本结果，从中窥探一个好的科学问题如何持久地推动数学基础理论发展，一个有生命力的数学基础理论如何深刻地影响着科学的发展。本报告在某种程度上是程崇庆2012年数学所讲座“哈密尔顿系统的运动复杂性”的部分细节性补充。牛顿（IsaacNewton，1643-1727）PhilosophiæNaturalisPrincip
2、iaMathematica(1687)自然哲学的数学原理牛顿运动方程（第二定律+万有引力定律）：问题：给定N质点系的初始位置和初始速度，确定该质点系在任一时刻的位置和速度，使之满足牛顿运动方程。N质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10个首次积分：质心做匀速直线运动：6个首次积分；动量矩守恒：3个首次积分；能量守恒：一个首次积分N=2（Kepler二体问题）,6N-10=2(方程可解！）；N=3（三体问题），6N-10=8（方程不可解！）N=3,第三体质量为零，被称为“限制性三体问题”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解
3、！）。太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173颗已知的卫星；5颗已经辨认出来的矮行星；数以亿计的太阳系小天体（包括人造卫星、航天飞行器等）。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空{}伽利略变换：(1)保持时间间隔不变;(2)保持同一时刻两事件间距离不变匀速直线运动时空参照系原点平移坐标系的旋转一般的伽利略变换是上述三个基本变换的复合N质点系统的伽利略变换：每个质点做相同的上述伽利略变换相对性原理：在惯性参照系中运动方程在伽利略变换下不变牛顿运动方程的一般形式：一个封闭的力学系统，物体之间的
4、作用力只依赖各个物体之间的距离及其相对速度；惯性系下加速度不变。万有引力定律（牛顿，1687）:由Kepler三定律+力的叠加性质导出。Kepler问题：N=2牛顿根据Kepler三定律推导出天体间作用力与距离的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newto
5、n):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.牛顿运动方程求解（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler问题求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛顿验证了Kepler三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：给出了Kepler问题的精确解；特
6、别，J.Bernoulli的解法成为标准解法（利用了守恒律）1571-1630，德国天文学家，丹麦天文台台长Kepler问题（轨线方程）Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近点角，=半长轴e=离心率开普勒轨道根数：天体状态坐标：N-体问题N-体问题：(无解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛顿运动方程的求解一直是微分方程的主要研究课题，鲜有实质性进展。但是此问题刺激了常微分方程、变分学、拓扑学、动力系统和数学其它分支的发展，涌现了大批著名数学家。本报告涉及到的还有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouvi
7、lle,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他们在数学和力学界都享有盛誉。拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法国的牛顿1749-1827法国数学家、天体力学的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛顿虽然发明了微积分，但是并没有用来求解他建立的运动方程，他研究天体力学问题还是运用繁琐的几何推理方法；经麦克劳林、伯努利兄弟、泰勒和欧拉等对微积分的发展，特别是伯努利兄弟和
