浅谈有关扩大缩小的几个概念的含义.doc

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1、浅谈有关扩大缩小的几个概念的含义论“扩大缩小”与“增加减少”的本质区别［原创］教学思想论“扩大缩小”与“增加减少”的本质区别“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”被人提出异议，从而导致“扩大（缩小）几倍”的说法从教材中消失，同时也给教学带来了种种不便，还给相关的种种表述带来冲击。在有异议的人中，有人将“扩大”视为“增加”，“缩小”视为“减少”，认为“扩大（缩小）几倍用几乘（除）”是错误的。也有人从一个错误的角度去理解，认为“缩小几倍”是不合语法和逻辑的。　　其实，扩大与增加，缩小与减少是有本质区别的。只要正确地领悟了扩大与缩小的数

2、学本质， 我们就能正确地解读“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”，同时也能真正体会到这一定义的科学 性和合理性，还能够让对这一说法有异议者发现自己的错误。一、从运算的角度看，扩大缩小对应于乘除法，增加减少对应于加减法。　　加减法是用于计算按“值”来变大变小的变化，人们在表达这类变化时使用的基本词汇是“增加”和“减少”。　　【例1】一个数加上5，我们会说这是增加5；一个数减去5，我们会说这是减少5；增加与减少是互为相反的变化。　　【例2】将一个数增加5，可以加上正5，也可以减去负5；将一个数减少5，可以减去正5，也可以加上负5。正

3、负5的作用正好相反。　　人们用“增加（减少）5”来表达数学中“加上（减去）5”这种按“值”来变大变小的变化。 同样，人们也要表达“乘以（除以）5”这种按“率”来变大变小的变化。事实上，人们早就选择了“扩大（缩小）5倍”来表达“乘以（除以）5”的变化。　　【例3】一个数乘5，是将这个数扩大5倍；一个数除以5，则是将这个数缩小5倍；扩大与缩小是互为相反的变化。　　【例4】将一个数扩大5倍，可以乘5，也可以除以1/5；将一个数缩小5倍，可以除以5，也可乘1/5。此时，1/5与5的作用相反。　　对比后，我们将发现：倒数对于乘除法相当于

4、相反数对于加减法；扩大缩小对于乘除法相当于增加减少对于加减法。二、从图片的放大与缩小中，我们可以看到扩大缩小与增加减少是完全不同的，还可以看出“扩大几倍就用几乘、缩小几倍就用几除”是合理的。　　【例5】在一幅图片中，每一个点都有一个坐标(x,y)（x,y的值以下统称坐标值）。当把图片放大（扩大）时，各点的坐标值乘以一个大于１的数；把图片缩小是则乘一个小于１且大于０的数（或除以一个大于1的数）。　　把原图中各点的坐标值都乘几再用原来的颜色画出来，这正好符合人们的习惯说法——把图放大几倍；而把原图中各点的坐标值都除以几再用原来的颜

5、色画出来，也一样符合人们的习惯说法——把一幅图缩小几倍。　　【例6】如果将一幅图中各点的坐标值都增加或减少一个定值再用原色画出来，结果是图的大小没有变化，只是位置发生了变化。　　【例5】【例6】揭示了“扩大缩小”与“增加减少”的本质不同：“扩大缩小”与“增加减少”的不同，正如“乘除法”与“加减法”的不同。　　【例5】还说明了“扩大几倍就用几乘、缩小几倍就用几除”的合理性。三、从语法和逻辑上看，“扩大（缩小）几倍”是正确的，正如“增加（减少）几”一样。　　也有人认为“缩小几倍”有语法或逻辑上的错误。其实，只要正确地解读“扩大（缩

6、小）几倍”，我们将发现，语法和逻辑都不存在问题。　　以5倍为例。“扩大5倍”，就是“一种由小变大的变化（扩大），（所述变化前后的）两个数存在一个率为5的关系（5倍）”，因此，这种变化就是将原数乘以5得到变化后的数。同理可知， “缩小5倍”就是将原来的数除以5得到变化后的数。因此，“扩大几倍”“缩小几倍”并没有什么语法或逻辑上的错误。　　如果用上述方法去分析理解“增加（减少）5”，结果相似。比如，“增加5”是“一种由少变多的变化（增加），（所述变化前后的）两个数存在相差5的关系（5）”，也就是“原数加上5”。　　要注意的是，比较

7、两个数有两种结果。一种是倍数，另一种是相差数。前者用除法计算，后者用减法计算。四、从加减法与乘除法的对比看，人们在生活中由于没有正确解读“扩大（缩小）几分之一”，从而对“扩大（缩小）”产生了歧义。　　【例7】设原数为100，按前面的理解，将几的范围扩大之后得到：　原数增加5为105，减少5为95；减少-5为105，增加-5为95。　　原数扩大5倍为500，缩小5倍为20；缩小1/5为500，扩大1/5为20。　　我们知道，在加减法中，加上（减去）一个数等于减去（加上）这个数的相反数；在乘除法中，除以（乘以）一个数不为0的数等于

8、乘以（除以）这个数的倒数。　　增加与减少相反，在加上（减去）一个数中“5”与“-5”运算效果相反，因此，这种情况下可以说“5”与“-5”互为相反。再推理得：“减少-5”=“减少5的相反”=“增加5”。同理，“增加-5”=“减少5”。　　类似地，扩大与缩小相反，也就是说扩大是缩