2006—2013年吉林大学《数学分析、高等代数》考研试题及答案

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1、吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数在上可积，则在上也可积；2、若级数收敛，则级数也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列的上、下极限都存在；5、区间上的连续函数必能达到最小值；6、在整个实轴上是一致连续的；7、若函数沿着任何过原点的直线连续，则在连续；8、若函数在点取极小值，则=0；9、若=0，，则再点取最大值；10、向量场是无源场。二、（共20分）填空题1、设，则=();2、设，则=();3、设，则=();4、设s表示单位球面，则第一型曲边梯形=();1、数列的下极限为();三、（共20分）计算下列极限1、；2、；3、；4、；四、

2、（共20分）判断下列级数的敛散性1、；2、，其中，，；五、（10分）设函数在两次连续可微，满足且。证明：存在使得。六、（10分）计算第二型曲线积分其中为单位圆周，方向为顺时针方向。七、（10分）证明，对任意，都有八、（10分）设均为常数，且对任意都有证明：九、（10分）证明，不存在上的正的可微函数，满足。十、（10分）试构造区间上的函数序列，具有如下性质：(1)对每个，是上的正的连续函数；(2)对每个固定的，；(3).高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点在同一个圆上的充要条件为_____。（要求用含有的等式表示）；2、设方阵只与自己相似，则必为_____；3、设为

3、可逆矩阵，则直线与直线的位置关系为。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；1、设为四阶正方矩阵，其中均为四维列向量：，，且线性无关。求线性方程组的通解。二、（16分）求二次曲面的主方向；三、（17分）设为维欧式空间，与为中向量，线性无关，且对任意的均有。证明，必有上的正交变换使得四、（17分）设为数域上的维向量空间，均为上的线性变换，且满足。证明：。五、（17分）设为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵，使得为正定矩阵。六、（17分）设为数域上的维向量空间，为上的线性变换，且。证明：存在的一个适当基底及型矩阵，使得在该基底下恰好对应矩阵。七、（17分）设为实数域上的全体阶方阵在通常的运算

4、下所构成的向量空间，为上的线性变换，对任意的，。1、求的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明恰为的所有特征子空间的直接和。二、（17分）设为阶实方阵，若对任意的均有，则称为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵比为可逆矩阵。吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、函数在任何有限区间上都是可积的；2、若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数；6、在整个实轴上是一致连续的；7、若函数在处的两个偏导数，则在连续；8、在内有无穷多个极大极小值点；9、若

5、则在点必取极大值或极小值；10、向量场是无源场。二、（共20分）填空题1、设，则();2、设，则=();3、设，则=();4、设s表示单位球面，则第一型曲边梯形=();5、数列的上、下极限的和为();)三、（共20分）计算下列极限1、；六、（10分）计算第二型曲面积分其中为球面的内侧。高等代数与空间解析几何卷1、求点到平面的距离。2、求曲面在点处的切平面。3、写出内积、外积和混合积的定义。4、设为在有理数域上大于1的多项式，给出的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。5、再复数域上，当取何值时，多项式有重因式。6、，求正交矩阵及对角矩阵，使得8、是实数域上三元列向量空间，，为阶

6、正定矩阵。定义，则当满足什么条件是，为欧式空间。9、当为何值时，5个平面经过一条直线。10、求上的线性变换，使，二、1、设为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数，使得都是整数，证明：是整数多项式。2、是在曲线的充要条件是，其中是向量的长度，是向量的方向余弦。3、是数域上的向量空间，是上的线性变换，记：当且仅当是特征子空间。4、假定是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使得。5、设是数域上的阶矩阵构成的向量空间，，是的极小多项式，令，证明：(1)是的子空间，而且(2)不可约，则的每个非零元素都是可逆矩阵。吉林大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、二、3、4、，为椭

7、圆，周长为a。三、1、设于上二次连续、可微，存在不低于整数的常数，使得。记，证明：存在，使.2、皆为区间上的连续函数，在上二次连续，，其中为常数。证明(1)时，于一至连续。(2)满足3、在上具有连续的一阶导数。证明；4、证明：在上不一致连续，且1、在上具有连续的一阶导数，且，证明：高等代数与空间解析几何卷1、求点到平面的距离。2、求曲面在点处的切平面。3、写出内积、外积和混合积的定义。4、设为在有理数域上大于1的多项式，