2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第5课时利用导数探究函数的零点问题教学案理北师大版.doc

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1、第5课时　利用导数探究函数的零点问题　　　　　　研究函数零点个数(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．【证明】　(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.当x∈时，g′(x)是减少的，而g′(0)＞0，g′＜0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0.所以g(x)在(－1，α)是增加的，在是减少的，故

2、g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当x∈(－1，0]时，由(1)知，f′(x)在(－1，0)是增加的，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1，0)是减少的．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1，0]的唯一零点．(ⅱ)当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)是增加的，在是减少的，而f′(0)＝0，f′＜0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)是

3、增加的，在是减少的．又f(0)＝0，f＝1－ln＞0，所以当x∈时，f(x)＞0.从而f(x12)在没有零点．(ⅲ)当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)在是减少的．而f＞0，f(π)＜0，所以f(x)在有唯一零点．(ⅳ)当x∈时，ln(x＋1)＞1，所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．判断函数零点个数的3种方法直接法令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决　设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(

4、1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上是减少的，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上是增加的，所以当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(

5、x)＝－x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，12当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上是增加的；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上是减少的．所以x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0

6、所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0

7、间为，减区间为.(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－，令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x＜1时，g′(x)＜0，当1＜x≤3时，g′(x)＞0，所以g(x)的减区间为，增区间为(1，3]，所以g(x)min＝g(1)＝1，由于函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln3＋，g(3)＝3－，3ln3＋＞3－，所以实数a的取值范围是.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范

8、围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．　　设函数f(x)＝lnx－x，若关于x的方程f(x)＝x2－x＋m在区间[1，3