dct变换的原理及算法

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1、DCT变换的原理及算法离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform）离散傅立叶变换概述傅立叶分析以法国数学家和物理学家JeanBaptisteJosephFourier命名，是一种将信号分解为谐波的方法。如下三图所示，一个包含16个点的离散信号可以用9个余弦和9个正弦波来表示。在表达任意一个离散信号时，这些三角波的周期是一定的，不同的只是振幅(amplitude)。图1-1离散信号与对应的三角波信号可以是连续的或离散的，同时也可以是周期性的或非周期性的，根据信号的这两个特点，傅立叶变换可以分为四种类型：傅立叶变换（Fouri

2、erTransform），处理非周期性的连续信号（Aperiodic-Continuous）。傅立叶序列(FourierSeries)，处理周期性的连续信号（Periodic-Continuous）。离散时间域傅立叶变换（DiscreteTimeFourierTransform），处理非周期性的离散信号（Aperiodic-Discrete）。离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform)，处理周期性的离散信号(Periodic-Discrete)。计算机只能处理离散的和有限长度的信号，因此只有离散傅立叶变换(DFT)能在计

3、算机中以算法实现。图1-2四种不同类型的傅立叶分析实数离散傅立叶变换（RealDFT）的格式和表示如图1-3所示，离散傅立叶变换将包含N个点的输入波转为两个包含N/2+1个点的输出波。输入波常被称作时间域，因为信号的波形基本上都是随时间变化，输出波常被称作频率域。时间域与频率域中存储的信息是一样的，只是表现方式不一样。将时间域转为频率域的过程叫离散傅立叶变换（DFT），将频率域转换为时间域的过程叫反变换（IDFT）。频率域可以分为两部分，实数部分ReX[]和虚数部分ImX[]，分别存放余弦函数(Cosine)的振幅和正弦函数(Sine)的振幅。

4、图1-3实数傅立叶变换示意图DFT基函数DFT中使用的正弦和余弦函数统称为基函数(BasisFunction)，这些三角函数的周期是固定的，变化的只是振幅。DFT基函数的表达式：Ck[i]=cos(2pki/N)Sk[i]=sin(2pki/N)公式1-1其中，Ck[i]和Sk[i]表示由N个点组成的离散正弦曲线，i的取值范围是张倒N-1。k决定了曲线的周期，取值范围是0到N/2。多余的系数完成DFT后，系数由原来的N个变为N+2个，似乎产生了两个多余的系数。在频率域中，的确有两个系数是多余的，它们是ImX[0]和ImX[n/2]。它们的存在使

5、得频率域中的其他系数相互独立，并且它们的值永远为0，因此不会影响反变换。反变换的计算(IDFT)公式1-2在上面的公式中，振幅使用的是和，而不是ImX[k]和ReX[k]。两者的关系可以用下面的公式来表示：公式1-3反变换的算法实现下面是反变换算法的伪代码实现：100'THEINVERSEDISCRETEFOURIERTRANSFORM110'Thetimedomainsignal,heldinXX[],iscalculatedfromthefrequencydomainsignals,120'heldinREX[]andIMX[].130'1

6、40DIMXX[511]'XX[]holdsthetimedomainsignal150DIMREX[256]'REX[]holdstherealpartofthefrequencydomain160DIMIMX[256]'IMX[]holdstheimaginarypartofthefrequencydomain170'180PI=3.14159265'Settheconstant,PI190N%=512'N%isthenumberofpointsinXX[]200'210GOSUBXXXX'Mythicalsubroutinetoloadd

7、ataintoREX[]andIMX[]220'230240''FindthecosineandsinewaveamplitudesusingEq.1-3250FORK%=0TO256260REX[K%]=REX[K%]/(N%/2)270IMX[K%]=-IMX[K%]/(N%/2)280NEXTK%290'300REX[0]=REX[0]/2310REX[256]=REX[256]/2320'330'340FORI%=0TO511'ZeroXX[]soitcanbeusedasanaccumulator350XX[I%]=0360NEXTI

8、%370'380'Eq.1-2SYNTHESISMETHOD#1.Loopthrougheach390'frequencygeneratingthee