04 力学：第四章 功和能+质点力学综合·课堂练习及部分习题解答

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1、第四章功和能ZhangShihui学习指导·典型例题2学习指导·典型例题3学习指导·典型例题4学习指导·典型例题5学习指导·典型例题4练习册·第3题练习册·第4题学习指导·第四章功和能·典型例题第2、3题ZhangShihui题.倔强系数为k、原长为l的弹簧，一端固定在圆周上的A点，圆周半径为l，弹簧的另一端从距A点2l的B点沿圆周移动1/4周长到C点。求弹性力在此过程中所作的功。C解：保守力做功等于相应势能增量的相反数⎡⎤112232ABA=−⎢⎥klkl()22−()=kl⎣⎦222题.两个自由质点，其质量

2、分别为m和m，它们之间的相互12作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为l/2时，两质点的速度各为多少？1122⎛⎞Gmm12⎛⎞Gmm12提示：机械能mv+=mv⎜⎟−−⎜⎟−112222⎝⎠ll⎝⎠2动量守恒mv=mv1122学习指导·第四章功和能·典型例题第4题ZhangShihui题.光滑圆盘上有一质量为m的物体A，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心O的距离为r，并以角速度ω绕盘心O作圆周00运动。现向下拉绳，当质点

3、A的径向距离由r减少到r/200时，向下拉的速度为v，求下拉过程中拉力所作的功。解：以O为参考点，拉力始终沿细绳，因rA0此，相对于O的力矩为0。设半径减小为Or/2小球的切向速度v，根据角动量守恒ω00tmvr=mvr00tv222半径为r0/2时小球的总速度vvvBt=+112231222Wm=−vmv=+mrωmvB0002222学习指导·第四章功和能·典型例题第5题、第6题ZhangShihui题.K一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力F=F(xiˆ+yˆj)作用在质点上．在该质点从坐标原点运

4、动到0(0，2R)位置过程中，力对它所作的功为多少？yPPKKP解：A=⋅=∫∫OOFdrFxdxiFydy()00+R02R22=+=∫∫00Fxdx00FydyFR0Ox题.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为f=k/r3，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。解：既然求势能，那提到的力就是保守力，保守力做功与路径无关，因此可以选沿r的方向积分。以∞处为零势能点∞∞KK∞kkr处势能Ef=⋅==∫∫∫drfdrdr=prrr32rr2练习册·第四章功和能·第3题Zha

5、ngShihui题.质量为m的轮船在水中行驶，停机时的速度大小为v，0水的阻力为-kv（k为常数），求停机后轮船滑行L距离的过程中水的阻力作的功？解：由牛顿第二定律KKKdvdvdxdvFm==am⇒−=kvm⇒−km=dtdtdtdtxvk积分∫∫−=kdxmdv⇒=−+vxv00v0mlLkk1L水阻力作功A=−=−−+kvdxk()(xvdx=kL−2v)f∫∫0000mm2练习册·第四章功和能·第4题ZhangShihui题.轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架

6、内，框架槽沿铅直方向，框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。解：设绳长l，柱质量m，框质量1m，建立图示坐标Oxy。柱和框在230°lO点速度均为零。yv130°设柱在图示位置的速度为v1，方向F与线l垂直；框的速度为v，方向Ox2mgv2水平向右，则由套接关系,知1vvv==cos30°①211x练习册·第四章功和能·第4题ZhangShihui柱m与框m构成的质点系在从竖直位置运动到图示位置过12程中(只有重力W和

7、拉力F做功)，根据质点系的动能定理11122mv+=°mvFlsin30−−°mgl(1cos30)②1122122将①式代入②式，可得11222mv+°mvcos30=Flsin30°−mgl(1cos30)−°11211222Flsin30°−mgl1(1cos30)−°⇒=v30°l113v1mm+1230°28FO⇒=v2.4m/smgv2x1质点力学综合ZhangShihui例例1.1.弹簧劲度系数为k(质量忽略)竖直放置，F下端悬一质量为m的小球，开始使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢

8、提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过22程中外力作功为__________mg2k。例例2.2.半径为R的半球形容器中，质量为m的AO质点自边缘上的A点由静止下滑，到达最低点B时对容器的正压力大小为N。在由AR滑到B的过程中，摩擦力对质点做的功?2B112mv提示：提示：WEEm=−=vm−gR,(=−⇒NmgRNm−3g)f2122R学习指导·质点力学综合·第15题ZhangShi