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1、现代数学概览数学与计算机科学学院林火南漫话概率论及其应用如今，人们对“概率”一词已不在陌生．概率论的研究正方兴未艾,概率论的应用遍及自然科学和人文社会科学的各个领域,不仅是科学家、工程师,而且也是经济学家、社会学家乃至管理经营人员不可或缺的重要有力工具。那么,概率论是一门什么样的学科?它何以产生如此巨大的作用?从若干个例子谈起:例1某个单位须拆迁本单位的一个居住小区用以建设大型体育设施。为使该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房,采取以下“激励”措施:按照搬离并退房的顺序发放号码,届时将按照该号码依次抽签,再根据
2、所抽签得到的号码依次挑选安置房。结果该小区住户争先恐后搬离,争取得到前面的号码,“以免吃亏”。你如何看待这件事?、例2美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题：在三扇门背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了另外两扇门中的一扇门,让你看清楚 这扇门背后是只羊,接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?在三扇门背后（比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆
3、小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门，比方说主持人打开3号门,让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?123在三扇门背后（比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏有汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了其中的一扇门，比方说主持人打开3号门,让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否想要重新选择?如果再给你一
4、次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?1321只羊例3设有三张形状完全相同但所涂颜色不同的卡片。第一张两是红色,第二张两面都是黑色,而第三张是一面红色一面黑色。将这3张卡片放在帽子里充分混合后,随机地取一张放在地面上。若取出的卡片朝上一面呈红色的,那么另一面是黑色的概率是多少?(凭直观往往认为这个概率为0.5,其实这是一种错觉!）例41)某一天乙见到甲,乙问甲有几个小孩?甲回答说有两个。乙再问是否有女孩?甲回答说有。现在问甲的两个小孩均为女孩的概率是多少?(假设每胎生男生女机会相等)2)某一天乙见到甲
5、牵着一个小女孩,乙问甲有几个小孩?甲回答说有两个。乙再问这是你的小孩吗?甲回答说是。现在问甲的另一个小孩也是女孩的概率是多少?你认为这两个概率值相同吗?从语言角度看这两段话意思完全一样吗?例5(血液化验问题)某城市正在开展某种疾病大普查。假定这个城市总人口N个,对每人收集一份血样。现在有两种方案可以选择:1)每一份血样化验一次,总共须化验N次。2)把要化验的血样分组,每k份血样构成一组;若某一组血样混合后化验呈阳性,则对该组的每份血样再化验一次,这时该k份血样化验k+1次;若某一组血样混合后化验呈阴性,
6、则该组只须化验一次。问采用哪个方案更好?k=?为什么?例6具有不对称信息的市场的分析问题:具有不对称信息的市场在国内的当前阶段是司空见惯的:假冒伪劣商品、以次充好和操纵价格;价格发生畸变．人才招聘弄虚作假;保险市场上,“高风险”客户隐藏真相。2001年诺贝尔经济学奖授予G.Akerlof,A.M.Spence和J.E.Stiglitz2001年诺贝尔经济学奖授予George.A.Kerlof(麻省理工博士,伯克莱分校教授),A.Michael.Spence（哈佛大学博士,斯坦福大学教授）和Joseph,
7、E.Stiglitz(麻省理工博士,哥伦比亚大学教授),以奖励他们对具有不对称信息市场的分析。G.A.Kerlof于1970年提出A.Kerlof逆向选择原理(俗称二手车市场论)：假设某商品(例如，二手车)有劣质品和优质品两种档次，所占比例分别为p和1-p,每个买方对两种档次商品都有共同的估价，分别为a和b;每个卖方对两种档次商品都有共同的估价,分别为c和d;当然ac,b>d,而劣质品价格定在a和c之间,优质品价格定在b和c之间,买卖就成交.不规范的市场:价格混乱，两种
8、商品价格混为一谈，买方对该类商品的的合理定价为两种档次商品的估价平均值,即m=pa+(1-p)b,这时，c
