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1、2015高考最后一卷理科数学(第三模拟)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,为虚数单位,若为实数,则=()A.1B.C.D.2.设全集,,,则图中阴影部分表示的集合为()A.B.C.D.3.若抛物线的焦点坐标为,则()A.1B.C.2D.4.已知变量满足约束条件,则目标函数的最大值为()A.9B.8C.7D.65.设等比数列的前项和为,若,则下列式子中数值不能确定的是()A.B.C.D.6.在平面直角坐标系中,由轴的正半轴,轴的正
2、半轴、曲线以及该曲线在处的切线所围成的封闭图形的面积是()A.B.C.D.开始结束7.执行如图所示的程序框图,若,取则输出的值为()A.B.C.D.8.已知函数在处取得最大值,则函数是()A.偶函数且它的图像关于点对称B.偶函数且它的图像关于点对称C.奇函数且它的图像关于点对称D.奇函数且它的图像关于点对称9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图为全等的直角梯形,俯视图为直角三角形则该几何体的表面积为()A.B.C.D.10.已知函数,,若关于的方程在区间内有两个实数解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.11.
3、已知正三棱锥中分别是,的中点,若,,则三棱锥的外接球的表面积()A.B.C.D.12.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.B.C.D.2第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量,,如果向量与垂直,则的值为.14.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排,某人欲选由A,B,C,D,E中的两个字母,
4、和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌,则他选择号牌的方法种数为.15.设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、若,则的取值范围为.16.设函数,其中,对于任意的正整数(),如果不等式在区间上有解,则实数的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零,其前项和为,若,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求证:.18.(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友20
5、14年4月20日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下统计表(如图1):若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2.(1)试确定的值,并补全频率分布直方图(如图2).(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法抽取10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望.19.(本小题满
6、分12分)如图,在四棱锥中,侧面底面,,底面为直角梯形,其中,,,为的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知圆:,点为直线:上的动点.(1)若从点作圆的切线,点到切点的距离为,求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若,,直线,与圆的另一个交点分别为,,求证:直线经过定点21.(本小题满分12分)设函数,其中.(1)求函数的单调区间;(2)证明:当时,对于任意的,且都有.四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应
7、题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,四边形是边长为的正方形,以为圆心,为半径的圆弧与以为直径的圆交于,连接并延长交于点.(1)求证:为的中点;(2)求线段的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面坐标系中,曲线的参数方程为,在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线上的点对应的参数,射线与曲线交于点.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;(2)若点,在曲线上,求的值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设关于
8、的不等式的解集为,且,.(1)对于任意的,恒成立,且,求的值;(2)若求的最小值,并指出取得最小值时的值.第III卷(参考答案)一、选择题1.B2.D3.D4.B5.D6.D7.A8.B9.B10.A11.B12.A二、填空题13.14.360015.16.三、解答题17.(