近似已知函数的求导方法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2006年3月高等学校计算数学学报第28卷第1期近似已知函数的求导方法罗兴钧杨素华(赣南师范学院数学与计算机系，赣州341000)陈仲英(中山大学科学计算与计算机应用系，广州510275)DIFFERENTIATIONOFAPPROXIMATELYSPECIFIEDFUNCTIONSLuoXingjunYangSuhua(Dept．ofMath．andComputer，GannanNormalUniversity，Ganzhou341000)ChenZ

2、hongying(DepartmentofScientificComputingandComputerApplications，ZhongshanUniversity,Guangzhou510275)AbstractWepresentanewstableapproximatemethodfordiferentiationofspecifiedfunctions．Theconvergencerateoftheapproximatediferentiationisim—provedundersomeco

3、nditionsandtheimprovedestimateisO(64／)，ascomparedwiththeGroetsch’8methodforapproximatediferentiation．Numericalexperi．mentsaxepresented．KeywordsIll-posedproblems，approximatediferentiation，convergencerate．AMS(2000)subjectclassifications65J20，65D25#l#中图法分

4、类号O241．2，O241．41引言在实际问题中会遇到求近似已知函数的微商，这是一个典型的不适定问题f1一引，即函数的一个微小的扰动会使得导数值有巨大的变化，因此求导数是相当不稳定的，对这类●收稿日期：2004．04-03．维普资讯http://www.cqvip.com2006年3月高等学校计算数学学报．77·问题需要用特殊的方法．常用的方法有磨光法【3l，差分法[4-6】，正则化方法【l及极小二乘法【8J．Groetsch在文献[5,6，9】中对这一问题做过详细的研究，尤其在文献[9】中，采用了

5、一种新的方法，即通过求积分的方法来求近似导数，得到了求导运算中稳定近似导数的最优收敛率为0(／0)，这里是近似数据的误差界．Groetsch在文献[9】中引进一算子D，I：fhDh](X)=／tf(x+t)dt，‘f‘’．，一h这里h是小参数，把Daf(x)作为，(z)的近似值．假设，(z)是某区间上的有三阶有界的连续导数，，(z)是，(z)的有界可积近似函数，则只要选择h=c／3，就有lIDhf一，l1=0(／。)．我们在文献[9】的基础上提出了一种新的求近似导数的稳定方法，在一定条件下近似导数的

6、收敛率达到0(／)，并且上述收敛率是最优的．2稳定求导数方法假定，(z)是某区间I上的有界连续可微函数．引入算子。^，(z)=吾zdt一z+)dt，(2．1)其中的h>0为参数，并把Dhf(X)作为，(z)的近似值．已知，(z)的有界可积近似函数，(z)，满足l1，一，l1=supl，(z)一，(z)l．(2．2)霉∈，定理2．1假设，(z)在区间，上有5次有界连续导数，M=sup(z)l，则⋯lID，I，一，l1ch这里c=3M>0．证明由Taylor公式，(z+)：，()+，()+筹，，，(z)

7、+蔷，，，(z)+，)(z)+蔷，(5】(口())，(2．3)这里()介于z与z+之间，我们将，(+t)，，+)展开后再代入(2．1)得到㈤=3h卅卅㈤+㈤+∽))dt^一丽L3h卅卅㈤+，，，)+)4V~+广t6，o(5(6l2(t)))dt卅3htO=∽)dt一，(5ft))dt．^维普资讯http://www.cqvip.com．78·罗兴钧等：近似已知函数的求导方法第1期从而按假设我们有^，一I-1~Mh+-~Mh4=M定理2．2假设定理2．1的条件成立，则(i)：Dhf．+，，当h．+0时

8、；(ii)：Dh／．÷，，当h-+0，／^-+0时．证明(i)：由定理2．1立刻可知结论(i)成立．再来证明(ii)：由于lDJl，()一Dhf(x)]=IDA(I()一，())l筹+蒜at3(2+1)—一h’则由定理2．1及上式可知IlD^，，，IlIlDJ1．fJ—Dh，Il+IlDJl，一f'11≤Mh+由此可见结论(ii)成立．推论2．1假设定理2．1的条件成立．令9(^)=M+，则当．}l’=()}}时，9(．『l)~tzJ、值。且最小值为【M()+()。且