材力第4章习题解.pdf

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1、第4章弹性杆件横截面上的切应力分析4－1扭转切应力公式()Mx/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。（A）等截面圆轴，弹性范围内加载；（B）等截面圆轴；（C）等截面圆轴与椭圆轴；（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。正确答案是A。解：()MxIp在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。4－2两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为1max和2max，切变模量分别为G1和

2、G2。试判断下列结论的正确性。（A）1max＞2max；（B）1max＜2max；（C）若G1＞G2，则有1max＞2max；（D）若G1＞G2，则有1max＜2max。正确答案是C。解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即12由剪切胡克定律G知G1G2时，1max2max。4－3承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。4321（A）(1)；d1(1

3、4)3即（1）4322D（B）(1)(1)；2422（C）(1)(1)；W1A1d1（2）4232WAD2(12)（D）(1)/(1)。222正确答案是D。（1）代入（2），得解：由得21max2maxW(14)3116Mx16MxW122334πd1πD2(1)4-4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。正确答案是C。解：因内、外层间无相对滑

4、动，所以交界面上切应变相等12，因G12G2，由剪切胡克定律得交界面上：122。习题4-4图4-5图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。3MxTT31016解：1．1max3370.7MPaWPWPπdπ0.0616rM2πMr4xx2．MrdA2πdA10IpIp4444Mr2πr2πr16r1541∴16

5、()6.25%M4I446016xpπdd432MxT3．2max3Wpπd14习题4-5图1()1624-6图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面—15—习题4-6图上的扭矩均为T=Mx。试：2Mx1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力max2πD3Mx2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力max2πD3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。DD解：1．MxdAπDA22max2Mx2Mx∴2即：πDmaxπD22．由课本（8－18）式3M3M3Mmaxx

6、xxmax222hbπDπD(b-1)(a-1)(a-2)(b-2)4-7由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2=n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：T2s1n2RT2h1nTSTS解：由已知长度和质量相等得面积相等：222πR0π(R2R1)（1）R2R1TsTs（2）TTmax33hhπdR0π162习题4-7解图Thmax（3）3π(2R2)4(1n)16由（2）、（3）式3TsR0（4）

7、T34hR2(1n)222由（1）R0R2R1代入（4）333T(R2R2)2(1n2)2(1n2)21n2s21∴T344222hR2(1n)1n(1n)(1n)1n4-8图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T=30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。Mx6解：6010amax3πd1616T16300d3329.4mma66π601060π10MxMxMx6amax2336010c1hbc1db0.208db300d30.028