浅谈“点乘法”在解题中的应用.pdf

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1、ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１５年第１期浅谈“点乘法”在解题中的应用山东省东明一中２７４５００段刚山２我们知道，若设直线与圆锥曲线的两交点坐标分ｙｙｘ１２２２２２１）＝０，所以ｘ＋ｘ＝３，ｙ＋ｙ＝２（１－）＋２（１－１２１２别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），将它们分别代入圆锥曲线方２３２程并对所得两式作差，可得到一个弦ＡＢ的中点坐标与ｘ２２２２２）＝２，即ｘ＋ｘ和ｙ＋ｙ均为定值．直线ＡＢ的斜率（若斜率存在）之间的关系式，由此可１２１２３以大大减小运算量，我们称这种代点作差的方法为“点（Ⅱ）因Ｍ是线段Ｐ

2、Ｑ的中点，所以点Ｍ的坐标为差法”．ｘ＋ｘｙ＋ｙ１２１２（，），根据两点间的距离公式和（Ⅰ）知当然，“点差法”的运用有一定的局限性，类似的２２问题当应用“点差法”无效时，我们不妨可用下面的２２ＯＭ·ＰＱ“点乘法”，即将直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别ｘ＋ｘｙ＋ｙ１２２１２２２＝［（）＋（）］［（ｘ－ｘ）＋（ｙ－代入圆锥曲线方程并将所得两式相乘，可得到一个三２２１２１角形△ＯＡＢ（Ｏ是坐标原点）的面积与弦ＡＢ的端点坐ｙ）２］２标之间的关系式，从而可以大大减小运算量，我们称这１＝［５＋２（ｘｘ＋ｙｙ）］［５－２（ｘｘ＋ｙｙ）］种代点相乘的

3、方法为“点乘法”．下面仅以２０１１年山东１２１２１２１２４高考理科数学第２２题，和２０１３年山东高考文科数学第１２５２＝［２５－４（ｘｘ＋ｙｙ）］≤．１２１２２２题为例谈谈“点乘法”的应用．４４例１（２０１１年山东高考理科数学第２２题）已知ｘｘ１２ｘ２ｙ２当且仅当ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０时，上式等号成立，又３直线ｌ与椭圆Ｃ：＋＝１交于Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ）两１１２２３２ｙｙ１２＋＝０，易知当直线与椭圆的两个交点分别是椭圆６２不同点，且△ＯＰＱ的面积Ｓ＝，其中Ｏ为坐标原点．２５的长轴和短轴的端点时，ＯＭ·ＰＱ取到最大值．２２２２（Ⅰ

4、）证明ｘ＋ｘ和ｙ＋ｙ均为定值；２１２１２（Ⅱ）设线段ＰＱ的中点为Ｍ，求ＯＭ·ＰＱ的最（Ⅲ）假设在椭圆上存在三点Ｄ（ｘ，ｙ），Ｅ（ｘ，１１２大值；６ｙ），Ｇ（ｘ，ｙ），使得Ｓ＝Ｓ＝Ｓ＝，由（Ⅰ）（Ⅲ）椭圆Ｃ上是否存在点Ｄ，Ｅ，Ｇ，使得Ｓ＝２３３△ＯＤＥ△ＯＤＧ△ＯＥＧ２△ＯＤＥ６ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２ｘ１ｘ３ｙ１ｙ３ｘ２ｘ３ｙ２ｙ３Ｓ△ＯＤＧ＝Ｓ△ＯＥＧ＝，若存在，判断△ＤＥＧ的形状；若不存知＋＝０，＋＝０，＋＝０，显然，２３２３２３２在，请说明理由．若有一点在坐标轴上，则其余两点也必在坐标轴上，与解（Ⅰ）将点Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ）的坐

5、标代入椭１１２２６２２ｘ２ｙ２ｘ２ｙ２Ｓ△ＯＤＥ＝Ｓ△ＯＤＧ＝Ｓ△ＯＥＧ＝不符，若三点都不在坐标轴ｘｙ１１２２２圆Ｃ的方程＋＝１，得＋＝１，＋＝１，两３２３２３２ｘｘｙｙ１２１２ｘ２ｘ２ｙ２ｙ２ｘｘ上，即ｘｉｙｊ≠０（ｉ，ｊ＝１，２，３），＝，即ｘ１ｙ３－ｘ３ｙ１１２１２１２２２２１２ｘ２ｘ３ｙ２ｙ３式相乘得，＋＋（ｘｙ＋ｘｙ）＝１，即（＋１２２１９４６３→→６＝０，所以ＯＤ与ＯＧ共线和Ｓ＝矛盾，故椭圆Ｃ上ｙｙ１△ＯＤＧ２１２２２）＋（ｘｙ－ｘｙ）＝１．由于Ｓ＝１２２１△ＯＰＱ２６６不存在点Ｄ，Ｅ，Ｇ，使得Ｓ＝Ｓ＝Ｓ＝．１６ｘｘ△Ｏ

6、ＤＥ△ＯＤＧ△ＯＥＧ２２１２ｘｙ－ｘｙ＝，所以（ｘｙ－ｘｙ）＝６，因此，１２２１１２２１２２３例２（２０１３年山东高考文科数学第２２题）在平２２２２２２ｙ１ｙ２ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２面直角坐标系ｘＯｙ中，已知椭圆Ｃ的中心在原点Ｏ，焦＋＝０．再由＝（１－）（１－）＝１－＋２２２３３３２２２２２２２２２点在ｘ轴上，短轴长为２，离心率为．ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２２，得－１＝－＝（＋）（－２２２３３３２３２３（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；３６中学数学杂志２０１５年第１期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ６１

7、由题设知Ｓ＝ｘｙ－ｘｙ＝Ｓ，所以，（ｘｙ（Ⅱ）Ａ，Ｂ为椭圆Ｃ上满足△ＡＯＢ的面积为的△ＯＡＢ１２２１１２４２２２－ｘｙ）＝４Ｓ，代入①式，得任意两点，Ｅ为线段ＡＢ的中点，射线ＯＥ交椭圆Ｃ于点２１→→ｘｘｙｙ２２２＝ｔＯＥ１２１２ａｂ－４ＳＰ，设ＯＰ，求实数ｔ的值．＋＝±，②２２２２ａｂａｂｘｙ解（１）设椭圆Ｃ的方程为２＋２＝１（ａ＞ｂ＞→→ｔ（ｘ１＋ｘ２）ｔ（ｙ１＋ｙ２）ａｂ由于ＯＰ＝ｔＯＥ＝（，），且点Ｐ２２２２２ìａ＝ｂ＋ｃ，ï２＋ｘ２２＋ｙ２ｔ（ｘ）ｔ（ｙ）１２１２ïｃ２在椭圆Ｃ上，因此，＋＝１，即０），由题意得解得ａ＝２，ｂ

8、＝１，所以２２í＝，４ａ４ｂïａ２２２ｘｘ２ｙｙïｔ１２１２î２ｂ＝２，（２＋＋）＝１，将②式代入得２２２４ａｂｘ２椭圆Ｃ的方程为＋ｙ＝１．２２２２２ｔ２ａｂ－４Ｓ（２±）＝１，４ａｂ（２）设椭圆Ｃ上Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（ｘ，ｙ），