考研数学题型汇总

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1、考研数学考点及题型汇总1n第一部分高等数学第一章函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。【考点一】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当fx()连续时，有1ni1limffxdx，nni1n0baniba()1limfa(ba)fa(baxdx)nni1n0.bfxdx()a1【例1（数二、三）】极限limnnn1n22n1_____

2、_____.nnn1lnnln(n1)ln(2n1)1ln1i1[lnn]nnln1xdx4【详解】（1）原式=limenlimei0e0nne0【考点二】使用洛必达（LHospital'）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限0尽可能地化简。化简的主要方法：（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；（2）将极限值不为零的因子先求极限；1（3）利用变

3、量代换（通常是作倒代换，令x）t（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。【记忆要点】常见的等价无穷小代换：当x0时，我们有：（1）sinx~x(2)arcsinx~x（3）tanx~x(4)arctanx~xx2(5)e1~x(6)ln(1x)~x(7)ln(x1x)~x2x1(8)1cosx~(9)1x1~x(10)(1x)1~x(0)22xxlnaln(1x)x（11）a1e1xlna（12）log(1x)alnal

4、na2nsin6xfx()tanx6fx()【例2（数一、二、三）】已知lim0，求lim.32x0xx0x6fx()6fx()tanx6tanxtanxfx()【详解】lim=limlim223x0xx0xxx0x6tanxtanxfx()sin6xsin6xlim3x0xsin6xfx()tanx6tanxsin6x6tanxsin6x=limlim0lim333x0xx0xx0x=38.【考点三】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不

5、管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设与是同一过程下的两个无穷小，即lim0,lim0。若lim0,则称比高阶的无穷小;若lim,则称是比低阶的无穷小；若limC,(C为常数,且C0),则称与同阶无穷小;若lim1,则称与是等价无穷小。【例3（数一、二、三）】当xx时，(x)和(x)都是关于xx的n阶无穷小量，而00(x)+(x)是

6、关于xx的m阶无穷小，则0(A)必有m=n(B)必有mn(C)必有mn（D）以上几种情况都有可能【详解】应选(B).由已知条件，可设(x)(x)lima,limb，则xx0(xx)nxx0(xx)n00(x)(x)limab.xxn0(xx0)若ab0，则(x)+(x)是关于xx的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0,则0n(x)+(x)是关于(xx)的高阶无穷小，必有mn。故应选(B)。03n第二章导数与微分导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中

7、占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法。【考点四】设f(x)二阶可导，则有：（1）若f(x)为奇函数，则f'(x)为偶函数，f''(x)为奇函数，且f(0)0,f''(0)0。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。（2）若f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数，f''(x)为偶函数，且f'(0)0。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。（3）可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有f(xT)f(

8、x)，则fxT'()fx'()，f''(xT)f''()x。【例4（数二）】设函数f(x)具有二阶导数，并满足f(x)f(x),且f(x)f(x1).若f'(1)0,则（）(A)f''(5)f'(5)f(5).(B)f(5)f''(5)f'(5).(C)f'(5)f(5)f''(5)