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《必修四平面几何中的向量方法(附答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平面几何中的向量方法[学习目标] 1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一 向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ
2、＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
3、a
4、＝.思考 △ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.证明 设＝a，＝b，则＝－＝b－a，又M、N分别为AB、AC的中点．∴＝a，＝b.△AMN中，＝－＝b－a＝(b－a)，∴＝，即与共线，∴MN∥BC.知识点二 直线的方向向量(1)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)；直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)．(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的
5、方向向量依次为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k1、k2表示cosθ的夹角公式：cosθ＝＝.思考1 已知直线l：2x－y＋1＝0，在下列向量：①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________.答案 ①③④思考2 直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为________
6、；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为________．答案 90° 45°知识点三 直线的法向量(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为(A，B)；直线y＝kx＋b的法向量为(k，－1)．(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2
7、.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.思考 直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，则a的值为________．答案 ±1解析 n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，∵l1⊥l2，∴n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝(a－1)(－a－1)＝0，∴a＝±1.题型一 向量在平面几何中的应用例1 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．设A(2a,
8、0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－.跟踪训练1 已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF.(2)设点P
9、坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由∥，得y＝－2x＋4，由得∴点P的坐标为(，)．∴
10、
11、＝＝2＝
12、
13、，即AP＝AB.题型二 向量在解析几何中的应用例2 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.＝(x
14、＋1，y－1)，＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
