2012北京高考数学(理)(北京卷).doc

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1、绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．3．设．“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2B．4C．8D．165．如图，，于点

2、，以为直径的圆与交于点，则（）A．B．C．D．6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）8A．B．C．D．8．某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（）A．5B．7C．9D．11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为．10．已知为等差数列，为其前项和．若，，则．11．在中，若，，，则．12．在直角坐标系中，直线过抛物线

3、的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为．则的面积为．13．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为；的最大值为．14．已知，．若同时满足条件：①，或；②，则的取值范围是．8三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间．16．（本小题共14分）如图1，在中，，，．，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．17．（本小

4、题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．（求：，其中为数

5、据，，…，的平均数）818．（本小题共13分）已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．19．（本小题共14分）已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：三点共线．20．（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值．（1）对如下数表，求

6、的值；11（2）设数表形如11求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．8答案一、选择题题号12345678答案DDBCABBC二、填空题题号91011121314答案21；41；1三、解答题15．解：（1）原函数的定义域为，最小正周期为．（2）原函数的单调递增区间为，16．解：（1），平面，又平面，又，平面（2）如图建系，则，，，∴,设平面法向量为则∴∴∴又∵∴8∴∴与平面所成角的大小（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则∴∴假设平面与平面垂直，则，∴，，∵∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直17．（1）由题意可知：（2）由题意可知：（3）由题

7、意可知：，因此有当，，时，有．18．解：（1）由为公共切点可得：，则，，，则，，①又，，，即，代入①式可得：．（2），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增8①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．19．（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：由韦达定理得：①，，②设，，方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等