高中数学优秀讲义微专题60 三视图——几何体的面积问题.doc

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1、微专题60三视图——几何体的面积问题一、基础知识：1、常见几何体的表面积计算：（1）三角形面积：设的底为，高为，则（2）圆形面积：设圆的半径为，则（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为，母线长为，则侧面积为（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何

2、体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应。（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线3、三视图解面积的步骤：（1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体）（2）确定所求几何体由哪些面组成（3）根据围成的面的特点，寻

3、找可求出面积的要素，进而求出面积（4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积4、求表面积要注意的几点：（1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应。（2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴截面可求出圆锥的母线长（3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列。（4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进而在求表面积时不予考虑。二、典型例题：例1：一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，如图所示，则该几何体的侧面

4、积为_cm思路：通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥，所以只需计算出一个侧面三角形的面积，乘4即为侧面积。通过三视图可得侧面三角形的底为8（由俯视图可得），高为5（左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度），所以面积为，所以侧面积为答案：80例2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．思路：由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和。球的半径为3，所以半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以圆锥的侧面积为，所以表面积为答案：例3：已知某几何

5、体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．思路：可初步判断出该几何体可由正方体截得一部分而构成。从三视图中可得去掉的一角为侧棱长为1，且两两垂直的三棱锥（如图所示），可得为边长是的等边三角形。所以，其余的面中有三个面是正方形的面积减去一个边长为1的等腰直角三角形的面积，即，另外三个面为完整的正方形，即，所以表面积答案：例4：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.B.C.D.思路：由三视图可判断出该几何体为一个正四棱柱，所以表面积由侧面的四个矩形，还有上下两个底

6、面（直角梯形）的面积组成。由俯视图可得梯形的上下底分别为，高为1，所以梯形面积，四个侧面的底分别为，高为，所以侧面面积为，从而表面积答案：B例5：如图，一个空间几何体的正视图，侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A.B.C.D.思路：由三视图可得，该几何体为两个正四棱锥上下拼接而成，其表面积为8个侧面三角形面积的和。首先计算正视图中菱形的边长。图中的菱形被分成2个全等的等边三角形，设边长为，则有，解得答案：D例6：某几何体的三视图如图所示，则它的表面积

7、为（）A.B.C.D.思路：由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。由俯视图可得底面半圆半径，所以底面半圆面积几何体的侧面为圆锥侧面的一半，由正视图可得圆锥的母线，所以侧面面积，轴截面为三角形，底为2（侧视图），高为2（正视图）所以可得面积，所以该几何体的表面积为答案：A例7：如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A.B.C.D.思路：从三视图中可判断出几何体为一个

8、圆锥和圆柱拼接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱的一个底面。圆锥的底面半径为2，高为，可由轴截面求出母线的长度为，所以圆锥侧面，圆柱的高，底面半径，所以圆柱的侧面面积，圆柱底面面积，所以几何体的表面积为答案：B例8：某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为________思路：由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体，结合俯视图可得该几何体为圆锥的一部分。其表面积由底面扇形，圆锥侧面的一部分和两个三角形截面组成，首先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为，所以