（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何10第10讲圆锥曲线的综合问题教学案.docx

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1、第10讲　圆锥曲线的综合问题　　　　　　圆锥曲线中的定点、定值问题(2020·杭州七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切．(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1，0)的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得·为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【解】　(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切，所以，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为

2、＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，⇒(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则Δ＞0，，若存在定点N(m，0)满足条件，则有·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2＋m2－m(x1＋x2)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋k2＋m2＝－＋k2＋m2＝.如果要使上式为定值，则必须有＝⇒m＝，验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N满足·＝－.圆锥曲线中的定值问题的常见类

3、型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．　　(2020·杭州、宁波二市三校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(m，2)，其焦点为F′，且

4、MF′

5、＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点

6、的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x－1)2＋y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点．解：(1)抛物线C的准线方程为x＝－，所以

7、MF′

8、＝m＋＝2，又4＝2pm，即4＝2p，所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知切线不为y轴，设直线EA：y＝kx＋t，联立，消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①因为直线EA与抛物线C相切，所以Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，代入①可得x2－2x

9、＋t2＝0，所以x＝t2，即A(t2，2t)．设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y＝－tx＋t对称，则，解得，即B.直线AF的斜率为kAF＝(t≠±1)，直线BF的斜率为kBF＝＝(t≠±1)，所以kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．当t＝±1时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时A，B，F三点共线．所以直线AB过定点F(1，0)．　　　　　　圆锥曲线中的范围、最值问题(高频考点)圆锥曲线中的范围(最值)问题是高考命题的热点，多以解答题的第二问呈现，试题难度较大．

10、主要命题角度有：(1)建立目标函数求范围、最值；(2)利用基本不等式求最值；(3)利用判别式构造不等关系求范围．角度一　建立目标函数求范围、最值如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求

11、PA

12、·

13、PQ

14、的最大值．【解】　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－

15、PA

16、＝＝(k＋1)，

17、PQ

18、＝

19、(xQ－x)＝－，所以

20、PA

21、·

22、PQ

23、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，

24、PA

25、·

26、PQ

27、取得最大值.角度二　利用基本不等式求最值(2020·浙江省名校协作体联考)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(－1，0)的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且＝2，当

28、△AOB的面积最大时，求直线l的方程．【解】　(1)由题意知，c＋＝3，所以b＝c，a2＝2b2，所以e＝＝＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，因为＝2，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即2y2＋y1＝0，①由(1)知，a2＝2b2，所以椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.由，消去x，得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0，所以y1＋y2＝，②由①②知，y2＝－，y1＝，因为S△AOB＝

29、y1

30、＋

31、