精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案).docx

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1、.因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解（1）a2xm2abxm1acxmaxm3（2）a(ab)32a2(ba)22ab(ba)分析：（1）若多项式的第一项系数是负数

2、，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：a2xm2abxm1acxmaxm3axm(ax2bxcx3)（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(ab)2n(ba)2n；(ab)2n1(ba)2n1，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(ab)32a2(ba)2ab(ba)2a(ab)32a2(ab)22ab(ab)a(ab)[(ab)22a(ab)2b]a(ab)(3a24abb22b)2.利用提公因式法简化计算过程例：计算123987268987456987521987

3、1368136813681368分析：算式中每一项都含有987，可以把它看成公因式提取出来，再算出结1368果。解：原式987(123268456521)1368987136898713683.在多项式恒等变形中的应用2xy3，求代数式(2xy)(2x3y)3x(2xy)的例：不解方程组3y5x2值。分析：不要求解方程组，我们可以把2xy和5x3y看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和5x3y的式子，即可求出结果。解：.(2xy)(2x3y)3x(2xy)(2xy)(2x3y3x)(2xy)(

4、5x3y)把2xy和5x3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。4.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，3n22n23n2n一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。3n22n23n2n3n23n2n22n3n(321)2n(221)103n52n对任意自然数n，103n和52n都是10的倍数。3n22n23n2n一定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x2)(2x)解：3x(x2)(2x)3x(x2)(x2)(x2)(3x1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变

5、形转换得到。.例2．分解因式：41p)32(p12q()解：41p)32(p12q()4q(1p)32(1p)22(1p)2[2q(1p)1]2(1p)2(2q2pq1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：200020012001200120002000精析与解答：设2000a，则2001a1200020012001200120002000a[10000(a1)(a1)](a1)(10000aa)a(a1)10001a(a1)10001a(a1)(100011000

6、1)0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：x2bxc（b、c为整数）是x46x225及3x44x228x5..的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2bxc是3(x46x225)及3x44x2的因式。28x5因而也是(344x228x5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二x次因式。解：x2bxc是

7、42及42的公因式3(x6x25)3x4x28x5也是多项式3(x46x225(3x44x228x5))的二次因式而346x225344x228x514(x22x5(x)(x))b、c为整数得：x2bxcx22x5b2，c5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x228x70，从而简便求得x2bxc。x2，5x都是大于1的自然数(x2)(5x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1.分解因式：（1）4m2n312m3n22mn（2）a2