如何理解方差和标准差的意义.doc

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1、如何理解方差和标准差的意义?随机变量x的方差为:D(x)=E(x・E(x)y，方差的平方根面称为标准差，它描述随机变量取值与英数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。在实际问题中,若两个随机变量X,Y,且玖X),E(Y)E(X)=E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的収值较为离散，反之则衣明他较为集中。同样，标准差的值较大，则衣明该随机变量的収值预期期望值的偏差

2、较大，反之，则表明此偏差较小。随机变杲X的数学期望和方差有何区别和联系？1.随机变量X的数学期望玖X)描述的是随机变量X的平均值，血方差D(X)刻画的是随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变最X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X収值在数学期望附近集中。2.方差D(X)=玖X・E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数(X-E(X))2的数学期望，所以，山随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到：

3、(1)若X为离散型，则有(2.3)(2)若X为连续型，则有(2.4)3.在实际问题中，我们经常用D(X)=E(X・E(X))2来计算方差。山此可以得到：随机变量X与数学期望E(X)不存在，则方差一疋不存在。4.若随机变帚X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：p(

4、x-e(x)

5、<£)»i-旱©或£p(

6、x-E(x)

7、ng)<°¥°。它反映了随机变量在数学期望的£邻域的概率不小于1-坐①。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式

8、估计概率。它的应用有以下儿个方而：(1)己知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的£邻域的概率。(2)己知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出£，从而得到所需估计区间的长度。(3)对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。(4)它是推导大数定律和其他定理的依据。解题的具体步骤：首先，根据题意确定恰当的随机变量X,求出数学期望E(X)与D(X)；其次，确定£>0的值，瑕后，山切比雪夫不等式进行计算和证明。注：（一）相关系数的含义1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系？（1）相关系数也常称为"线性相关

9、系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一•般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有iQxyl达到最大值1•可以容易举岀例子说明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，丨°刃1不仅不必为1，述可以为0.（2）如果OvlQxJvl，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”2.相关系数Qxy刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.3.IpXYI的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高；4.S"I的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.5

10、.当丨°灯1=1时,丫与X的变化可完全山X的线性函数给出.6.当pXY=（）时,Y与X之间不是线性关系.7.上面谈到的"线性相关”的意义述可以从最小二乘法的角度解释：（p95）设0=E[Y-（aX+方）]2,称为用心+b來近似y的均方误差，则有下列结论.设D（X）>0,D（Y）>0,则=3XV）,仇=E（y）-^0£（x）使均方误差达到最D（X）小.注：我们可用均方误差e來衡量以dX+b近似表示Y的好坏程度,e值越小表示oX+方与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为doX+b.而其余均方误差幺二/丫川-加“.从这个侧面也能说明.iQxj越接近l，e越

11、小.反之，丨°灯1越近于°飞就越大・Y与X的线性相关性越小.&山于相关系数只能刻画随机变量线性关系的程度，血不能刻画一般的函数相依关系的程度。在概率论中还引进了另外相关性指标，以补救这个缺点。但是，这些指标都未能在应用中推开。究英原因，除了这些指标在性质上比较复杂外，还有一个重要原因：在统计学应用上，垠重要的而为分布是二维正态分布。而对二维止态分布而言，相关系数是X和Y的相关性的完美的刻画，没有上面指出的缺点。