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1、48数学通报2013年第52卷第8期一个三角形面积最大值问题刘碧铎(北京师范大学数学科学学院1o0875)本文研究一个与椭圆有关的三角形面积最大值问题——这个问题是椭圆内接三角形面积最大s⋯::=值问题的推广.我们通过仿射变换的方法,将其牝0oIl转化为一个与圆有关的三角形面积最大值问题,然一号口6}c。sOsin一sinsl后通过适当选取参数,将其进一步转化为求一个在正方形封闭区域上连续的二元函数的最大值问题.一号s.n(一≤丢口6.1问题的提出如图1,已知P(。,Y。)为平面内给定的点,当一0一-4-专,±号7c时,S~.PAB取
2、得最大值2.2A、B为椭圆+=1(口,b>O)上的任意两点,c‘0.去-ab.此时,A、B两点坐标分别为A(acos,bsin),且A、B、P三点不共线,求S△P^e的最大值.B(一asin0,bcos)或B(asin0,一bcos),其中O≤<27c.情形(II)本质上是椭圆xzyzT一1(口,6>O)的内接三角形面积的最大值问题.这个问题在很./_,多文献中已有讨论,如见文献[4].f\2问题的解决现在我们解决问题的一般情形.作仿射变换T:{X=a,X,,则A、B、P不共线甘A,、B,、P,不共IY一0Y线,并且S△PAB—abS
3、△PB,,这里A、B、P分别是A、B、P在仿射变换T下的象。].在仿射变换T下,椭圆xzyZT一1卜圆++一1(>o).y:1.P(。,y。)卜P(詈,警),APAB△P,AB,并且A、BY2一..2为椭圆+1(n,。6>0)上的任意两点ffP()/、s⋯.∞A、B为圆-4-y=1上任意两点.这\.样一来,原问题转化B为一个与圆有关的三图22013年第52卷第8期数学通报49角形面积最大值问题.这样一来,原问题最终可转化为求一个二元问题1如图2,已知P(m,)为平面内给定函数在闭区域上的最大值问题.的点,A、B为圆+一1上任意两点,且
4、A、B、问题3已知二元函数f(O,)一sin(一)P三点不共线,求S△PAe的最大值.一rsin+rsin0,(,)∈D:==[0,27r]×[O,2丌].根据圆的旋转对称性,不失一般性,总可假定求f(O,)在D上的最大值.P(m,n)位于非负实轴上,即P(r,0),解析显然f(O,)在D上连续,在D内连:续可微,且f(O,)在D的边界上的最大值为I1一r=、.注意到r一0的情形恰好为我们前面讨论过r1.而厂(号,兀)一1+r>I1一rl,故f(O,)的最的情形(工)的一种特殊情形.余下我们只需考虑大值在D的内部取得.由方程组r)O的
5、情形.此时,问题1可转化为如下问题:f厂一一cos(9-O)+rcos一0问题2如图3,已知P(r,0)(r>0)为平面lfp—cos(9-O)一rcos—0内给定的点,A、B为圆z+。一1上任意两点,得COS:COS,而≠,故+—27c.此时,A、B且A、B、P三点不共线,求S△PA的最大值.两点关于轴对称.将一2丌一0代人方程组中J第一个方程得一cos20+rCOS一02COS一rCOS一1—0\t~P(rlO)X一s一.由于(,)为f(O,)的极值点时,对应的A、B两曰点关于轴对称,结合图形可知S△PA。(或f(O,))取最大值
6、时,必有COS<0.因此,COS0图3===.此时,maxs△PAB一1B(cos,sin),其中O≤,≤27r.则maxf(O,)1一sin20+2rsinsr0l一、=(r-COS)一F(r-t),其中£一、口并且,当A、B两点的坐标分4‘一÷I(cosO-r)sin9-sinO(cos9-r)I别为A(£,~/1一t),B(£,一~/1一t)时,f(O,)与S△。取得最大值.一-砉-Isin(~o-O)-rsin9+rsin0I.至此,我们解决了问题2和问题3.下面的定理回答了问题1.定理1设P(m,)为平面内给定的点,A、Bf
7、(O,)一sin(q~-O)-rsin9+rsin0为圆.27。+Y。=1上任意两点,且A、B、P三点不其中0≤,≤2丌.则f(O,)为正方形区域D一共线,则上有最大值与最小值.由于f(0,)=,maxSAP^一j(:-t),-f(9,),故maxf(O,)一-minf(O,).因此,其中一翌盈.maxSAeAB:::寺maxf(O,).特别地,当m+。一1,即P(m,)位于50数学通报2013年第52卷第8期1(n,6>O)上时,我们得到椭圆内接三角形最大面圆+。一1上时,一一丢,maxs△PA一.积为半这表明,圆z+一1内接三角形
8、面积的最大值为,并且取得最大面积的内接三角形为正三参考文献角形.1高红铸,王敬庚,傅若男.空间解析几何(第三版)[M].北京师范大学出版社。2007对于原问题,我们有下面的结果.2朱德祥,朱维宗.高等几何(第二版)EM]
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