滤棒检测中圆度误差评定方法的选择

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1、滤棒检测中圆度误差评定方法的选择邓春宁（福建龙岩卷烟厂龙岩364000）摘要本文对滤棒圆度误差评定进行了研究，重点研究了圆度误差评定的最小二乘方法，指出只有满足“小误差假设”和“小偏差假设”，最小二乘通用算法的评定结果才是严格意义上最小二乘解。针对这一结论，提出了一种由最小二乘迭代算法得到的精确的最小二乘解。关键词滤棒检测圆度误差误差评定方法0引言形状误差测量就是将被测形状与理想形状进行比较，从而确定并用数值描述实际形状与理想形状的差异。每一个形状误差参数的确定过程包括测量和评定两个阶段。测量阶段是根据被测形状误差项的定义，获得统一坐标系下采样

2、面、采样线和采样点上的轮廓坐标值；评定阶段则是根据定义对统一的坐标值进行处理，求得具体的形状误差值。圆度误差作为一种形状误差是卷烟滤棒生产过程中一个重要的检测指标，其误差评定可以采用多种方法，实质是一个非线性最优化问题。1圆度误差的几何特性根据国际标准ISO1101和国标GB1850的定义，圆度公差带是指在半径差为公差t的两同心圆之间的区域。因此，圆度误差的量值大小反映在圆周的半径方向上，即误差具有径向性。圆度误差的第二个几何特性是圆度误差变化具有“周期性”。因为圆形零件横截面的实际轮廓形状是一个复杂的封闭曲线轮廓，轮廓上各点径向误差的大小不同

3、，而且在圆周的一圈上以2π为周期连续变化。圆度误差的周期性可以用富氏级数来表示，在极坐标系中：∞∞∞ρ(θ)=r+acosiθ+bsiniθ=r+csin(iθ+a)（1）0∑1∑i0∑iii=1i=0i=122式中，ρ(θ)为极径，r为富氏级数常量，a,b为富氏级数的系数，c=a+b，011iiia=arctgab。iii式（1）的实际意义可以看成由一个平均半径为r的圆和若干个周期不同的形状圆误差0波形迭加而成。i=1，级数展开中的acosθ+bsinθ项决定了平均半径圆，偏心量是1122e=c=a+b;i=2，级数展开式中的acos2θ+b

4、sin2θ项反映在极坐标系中是一11122个椭圆；i=3，级数展开式中acos3θ+bsin3θ项反映在极坐标系中是一个三棱圆。依33次类推，n次谐波，反映在极坐标系中是一个n边棱圆。根据国标GB1850定义，偏心影响、表面粗糙度和表面波纹度（高次谐波分量）的影响均应从ρ(θ)中剔除，所以圆度误差函数nΔr(θ)=∑(acosiθ+bsiniθ)（2）i1i=2通常n取值为7~9。由圆度误差的几何特性可知，圆度误差的评定关键在于如何根据最小条件或最小条件的近似来确定理想圆的圆心位置。2圆度误差的评定方法2.1圆度误差评定方法种类圆度误差评定主要

5、有4种方法：①最小包容区域法（亦称最小半径法）以包含实际轮廓、且半径差为最小的两同心圆的圆心为理想圆心，这样确定的理想圆心满足最小条件。最小条件的判定法则是：两个同心包容圆应与实际圆的轮廓分别至少有两个切点，4个切点相间分布。②最小外接圆法最小外接圆法用实际轮廓的最小外接圆圆心来近似理想圆圆心。最小外接圆的判定法则为：在外接圆上至少有3点与外接圆相切，且组成锐角三角形，或者只存在两点与外接圆相切，且两点的连线过圆心。这两个法则称为锐角三角形法则和对径法则。③最大内接圆法最大内接圆法用实际轮廓的最大内接圆圆心来近似理想圆圆心，最大内接圆的判定法则

6、与最小外接圆相似。④最小二乘法最小二乘法用实际轮廓的最小二乘圆圆心近似理想圆圆心。上述4种方法只有最小包容区域法严格符合最小条件，形状误差评定结果精度最高。但是最小包容区域中心的求解过程实质是一个复杂的、带约束条件的非线性最优化问题，这类问题的求解通常采用两种方法：一是在一定的假设前提下，利用线性评定模型并结合单纯形法、置换法求解；二是线性逼近、迭代求解。前者存在模型上的误差，评定精度受到限制；后者求解过程复杂，计算量大，而且还存在解的收敛性和稳定性问题，应用受到一定的限制。最小二乘法虽然是一种近似方法，但其评定结果优于最小外接圆和最大内接圆法

7、，非常接近于最小包容区域法（评定误差通常小于5%），广泛应用于工程实践。最小外接圆法和最大内接圆法相当于与轴、孔实际装配时的情况，具有实际工程意义。通常最小外接圆法用于评定轴类零件的圆度误差，最大内接圆法用于评定孔类零件的圆度误差。2.1最小二乘法给定任意的圆度测量数据及测量点的直角坐标(xy)(i=1,2,?N)，可以得到如下误差ii方程22(x−u)+(y−u)=R+e(i=1,2,??N)（3）i1i2i运用最小二乘原理，令准则函数N22Ja=∑(x1−u1)+(y1−u2)−R（4）i=1使J→min的(,)uu及R为最小二乘圆的圆心及

8、半径。由于e为(,)uu及R的非线性函a12i12数，不易直接求解，故将准则函数J改为如下准则函数：aN2222Jb=∑{}(x1−u1)+(y1−u