数学建模：投资收益和风险的模型.doc

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1、.投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则,将投资分

2、散化。一问题的提出某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买的期望收益率（）、交易费率()、风险损失率()以及同期银行存款利率（=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受,,影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案,使净收益尽可能大,风险尽可能小.表1投资项目期望收益率风险损失率交易费率存银行300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52..

3、其中二问题假设及符号说明2.1问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素,因此所给的的期望收益率为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险,即整个资本市场整体性风险,它依赖于整个经济的运行情况,投资者无法分散这种风险,而只考虑非系统风险,即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。2.2符号说明：购买第种资产的资金数额占资金总额的百分比；：购买第种资产的资金数额；：存银行的金额；：交易费用；：净收益；：总体风险；：第种投资的净收益率。三模型的分析与建立

4、令交易费用则净收益为总体风险为约束条件为可以简化约束条件为..同时将代入，得略去M,原问题化为双目标决策问题:（3.1）以下设，否则不对该资产投资。四模型的求解4.1固定使最小的模型固定使最小，将模型（3.1）化为，（4.1）此模型又可改写为..令，表示第种投资的净收益率，则必大于,否则,若,则不对投资,因为对该项目投资纯收益率不如存银行,而风险损失率又大于存银行。将从小到大排序,设最大,则易见对模型（4.1）的可行解必有.当时,所有资金都存银行,;当时,所有资金用于购买,；当时,有如下结论[7]。结论：若0.03

5、的最优解,则[7]。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即时，总体风险最小[8]。证：设是满足的一组解，即。显然此时为总体风险。由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。（比如说将的值增加为会使得，总体风险显然增加；反之，若减小的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。）因此,当时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去；2）将代入解出Q；3）由，，求出最优解。所以，我们算得如下结果:（1）时，；..（2）时，；（

6、3）时，，，，，，。事实上应用Lingo软件可算得如下结果:表1收益最小风险度投资的资金百分比（）0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.0

7、1910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670

8、.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.150