轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂法的解答

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1、http://www.paper.edu.cn轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂法的解答徐前河海大学工程力学系,南京（210098）E-mail：xuqian83@yahoo.cn摘要：本文根据Eshelby等效夹杂理论，利用两种情况下所列出的物理方程的等量代换，先求出本征应变，进而导出轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体的位移场和应力场，并对结果进行量化。关键词：应力，位移，夹杂，等效夹杂理论1．引言材料是科学技术的必要物质基础，任何一项新技术的突破，都要有相应的新材料作前提保证，而且某些新材料的研制过程本身就是新

2、技术的发展，新材料对于新技术和新兴工业的[3]发展具有举足轻重的关键作用。所谓复合材料是将两种或两种以上，具有不同性质的材料，用某种工艺方法均匀地合成为一体而形成的一种新的材料。颗粒增强类复合材料是复合材料的一个重要分支，它是指以金属微粒子或非金属粒子为增强剂的复合材料。颗粒增强类复合材料的优良性能使得它在各个领域都有广泛的用途，这也就鼓励我们对它的力学性能做深入的研究。目前，对含有夹杂的各种模型的数值模拟已经相当成熟，但在理论推导方面，还比较欠[5]-[7]缺，也有一些学者做过很多研究，获得了一些有意义的成果。在这里，我们将采用等效夹杂理论

3、对轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体的弹性场进行研究。2．等效夹杂理论介绍设想在一个均匀各向同性的无限大弹性体内有一局部区域Ω，其材料由于某种原因（例*如相变），在无约束的情况下将产生一个永久变形ε。Eshelby将此应变称为相变应变，Muraij则将其称为本征应变，以涵盖更广泛的一类非弹性应变。由于在区域Ω的外部实际上有约束存在，整个弹性体的位移与应变将是u与ε。我们把应变ε分解为两部分；iijij*ε=e+εijijij*其中e为弹性应变部分，而本征应变ε在区域Ω的外部取值为零。ijij根据弹性力学中的虎克定律，弹性体的应力为*σ=

4、C（ε−ε）（1）ijijklklkl其中C=λδδ+2μδδijklijklikjlλ与μ为拉梅常数，δ为Kronecker记号。ij将应力表达式代入平衡微分方程中，得*Cε=Cε（2）ijklkl,jijklkl,j同时由于弹性体上无外荷载作用，在其外边界上有-1-http://www.paper.edu.cnCεn=0（3）ijklklj*从式（2），（3）可以看出，Eshelby相变问题相当于在弹性体内部作用有分布体力—Cεijklkl,j的问题。*Eshelby证明了当本征应变ε为常数时，Ω内的应变ε是均匀的，它可以表示为ijij*

5、ε=Sε（4）ijijklkl这里S称为Eshelby四阶张量。ijkl1考虑在弹性常数为C的基体相D−Ω中，存在一个弹性常数为C的区域Ω的情ijklijkl况，在无异性夹杂Ω存在时均匀的应力场，由于Ω的出现将受到干扰。对于Ω的形状为椭球体的情况，若假定物体为无限大，由此产生的位移和应力的受扰部分等效于Ω中本征应变取适当值的椭球体夹杂产生的位移和内应力。00令无异性夹杂Ω时由均匀的外部应力σ作用产生的位移为u，相应的弹性应变为iji000ε，由于Ω的存在，位移和弹性应变分别变为u+u′和ε+ε′，其内部的应力场变为ijiiijij0[1][2

6、]σ+σ′，其中σ′与ε′为由于夹杂的存在而产生的扰动应力与应变，它们满足ijijijij010σ+σ′=C（ε+ε′）在Ω内（5）ijijijklklkl00σ+σ′=C（ε+ε′）在Ω外（6）ijijijklklkl以及00σ=Cε（7）ijijklklEshelby证明了在这种情况下夹杂内部的应力场与应变场是均匀的，上述非均匀弹性体的弹性场可以用Eshelby相变问题来替代。设有一个均匀的弹性常数为C的无限大弹性体，它ijkl0*在远场受均匀应力σ的作用，同时在区域Ω内给定一均匀的本征应变ε。在这一弹性体ijij[1][2]内它的应力场

7、为00*σ+σ′=C（ε+ε′−ε）在Ω内（8）ijijijklklklkl00σ+σ′=C（ε+ε′）在Ω外（9）ijijijklklkl*[3]-[5]其中σ′与ε′为由于本征应变ε而引起的扰动应力与应变，ε′满足（4），即ijijklij*ε′=Sε（10）ijijmnmn比较（5）与（8），可以看出如果这两个问题等效，则有100*C（ε+ε′）=C（ε+ε′−ε）（11）ijklklklijklklklkl*联立求解方程（10）与（11）就能够得到等效本征应变ε，并进而求得夹杂内外的弹性场。kl3．轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹

8、性体弹性场的等效夹杂法的解答3.1公式推导用等效夹杂理论来解含有圆形异性夹杂的无限大平面弹性体受有轴向拉伸外力时的应-2-http://www.paper.edu.