三角试题的优化解法与技巧.pdf

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1、高中数学教与学2014盎三角试题的优化解法与技巧赵春祥(河北省乐亭县第二中学，063600)通过对三角习题结构的分析，在解题时视为一个整体进行变形替换．考虑选择适当的方法，则可使复杂问题转化例2已知sin+sin)，=等，求COS+为简单问题，收到事半功倍的效果．下面简要分类介绍解题常用的优化方法及技巧，供读COSY的变化范围．者参考．解设所求式为l，即／．=COS+COS，，一将已知式与待求式两边平方，得、代数替换1在三角函数问题中，若sinfit-I-COS与=sin+sin。Y+2sinxsiY，①sinOLE

2、OS0c同时在一个函数式中出现，此时可“=C08+(308Y+2cosXC,OSy．②设t=sin+C08仅，把原问题转化为以t为变量的二次函数，这样用代数方法处理就可以①+②，得“。+÷=2+2cos(x—y)，避开三角式讨论的麻烦．3·例1设口为正数，求函数Y=2a(sin+．．u一=2cos(x一，)．‘’一C08)一sincos一2a的最大值．．2≤2cos(—Y)≤2，·解令t=sin+COS，贝q一√≤t≤一．．2≤一主一≤2，42，且in。。：：}，从而解得一半≤“≤华．，，一}“2⋯吉·．一．～s⋯s

3、—v≤·。=一吉(￡一2a)+_1_．三、三角替换有一类三角问题，若用常规方法求解，往注意到一≤t≤时，对正数口分类讨论如下：往运算量大，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别①若。>年，则当l：时，致，解题过程简捷巧妙，可以收到意想不到的效果．y～：一2a+2口一÷；例3求函数Y=sin+1十c0s的最大值与最小值．②若o<口≤，则当￡：2Ⅱ时，解‘．’sin。+(】+COS)。：2，1。ym‘．．可设sin=COS，、~，／l+cos=√sill．二、整体代换·’用整体代换解题，即把

4、已知式或待求式．v／1+《0s≥1。·22．第5朝高中戡学教与学一．．．sin≥1，即sina≥-5-．号n《号．2kTr+子≤≤2+，则设si“聋羞寺§in，其中一詈≤≤号，则y=sin仅+c。s=2sin(d+詈)，．告cos土号ein而2后订+詈≤a+詈≤2+竹，即当0≤≤詈蠡时，，，=Tsin(、+詈‘f／1，0≤sinf01+4)-l，2≤(+子)《1，所以，函数的最大值为2，最小值为0．四、引入参数故1≤y≤譬．在三角函数问题中，根据三角函数式的结构，通过引入参变量进行替换，把问题转化当詈≤≤0时，)，=

5、A-c。s0+詈)，成对参变量的讨论，使参变量在解题过程中起到桥梁作用．这种参变量替换可以转化原2~cos(0+詈)÷≤y≤譬．问题的结构，简化解题过程，使繁难的式子变得简单、复杂的式子变得简明。使隐含的规律即所求函数的值域为告≤y≤．显露出来．六、整体配对例4已知sin+e。$盘亨1，其中O《根据已知三角式的整体结构，采用整体代换的方法，构造一个对偶式，这样，可使问0《肯。求tan题化难为易、化繁为简．解设皇一l，c。s+列例6求sin吾sinsin的值．(一t)+(+t)-，解得t盘±荷7解设A=sns；ns；n

6、，若t兰，则sin兰一手《0，不合题意，lq王咔l叶曰=c。s吾c。sc。s警，舍去1着t篁一，则stn=手，c。s=一号，·=s；n手snsin故tan0：一．=cc。os百cc。os。℃c。∞s西=丢日廿．‘五、平方升次变换·。．曰≠0，．·．A=÷，有些三角问题，通过平方升次变换架起已知通向未知的桥梁，沟通已知与未知的联即sn"ITsinsn=÷．系，可以避开直接锯三角题的麻烦，使解题思七、角的变换路更明显，解法更巧妙．三角函数式中往往出现较多的差异角，例5求函数，，=J-4'一sin2+lsinl化异为同是三

7、角变换的重要原则，变角则是其中之一，即根据解题的需要，将角度作必要的值域．的等价分拆．注意观察角与角之间的和、差、解由题意，知0≤sin。戈≤÷，即半等关系，化多角为单角或减少未知角的数．’‘高中I‘I学麓与学2014年目。沟通条件与结论角的差异，便测越腆利获第③种情况也将导致矛盾：1：sin+解．COSOt

8、、分离变量法对于恒为定值的三角求参问题，可以通’．-sin(詈一a)=一．过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以求出参数值．又-·o<卢<詈，．．一s(+卢)=一例9已知0)=sin0+sin(+)+．‘n(a+卢)=⋯s(詈++卢)sin(0+卢)，其中a适合0≤Ol<卢≤竹，试问取何值时)的值恒为定值．=⋯s【(+卢)一('iT