巧解几何体的外接球问题.pdf

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1、中学．i罘哥i辅导2014年9月巧解几何休的外接球问题@乔晓林摘要：在近几年的高考中，经常出现几何体的外接球问题。为分析：三棱锥P-ABC有三个面是了使学生能够很好地解决此类问题，本文在已有几何体的基础直角三角形，且PA=PB=PC，因此可转上，结合具体的例题，归纳了此类问题的解题方法。化为正方体的外接球，且正方体的面对关键词：几何体；外接球；转化角线长度为a，则正方体的棱长为中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1992—7711(2014)09—0147。，由此求出体对角线即为正方Z一体的外接球直径。、正方体的外接球外接球的直径为

2、正方体的体对角线。答案：。设正方体的棱长为n，则外接球的直径为、一a。变式：已知正方形AEFG的边长为4，B，C分别为EF,FG的二、长方体的外接球中点，将AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC(]~E，F，G重合于外接球的直径为长方体的体对角线。点，求三棱锥P-ABC的外接球的表面积。设长方体的长，宽，高分别为a，b，C，则外接球的直径为分析：如上图所示，PA=4，PB=PC=2，所以三棱锥P-ABC的外、／a+6+c2o接球是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球。三、兰棱锥的外接球A答案：241r。1．正四面体：转化为正方体的

3、外3．有四个面是直角三角形的三棱锥：转化为正方体或长方体接球。的外接球方法：如图所示正四面体ABCD方法：如图所示，在有四个面是直的外接球，可转化为正方体的外接球。角三角形的三棱锥A—PBC中，若AP=-例1．一个四面体的所有棱长为a，PC=BC，则转化为正方体的外接球；若四个顶点在同一个球面上，求该球的表AP，PC，BC不全相等，则转化为长方体面积。的外接球。分析：求该球的表面积关键是找例3．已知球0的表面上有四个点半径；该四面体为正四面体，如图所示，CA，B，C，D，DA上平面ABC，AB上BC，将正四面体ABCD的外接球转化为正方体的外接

4、球，球的直径为DA=AB=BC=、／，求球0的体积。正方体的体对角线；因此先由正四面体的棱长求正方体的棱长，分析：三棱锥D-ABC中有四个面再求正方体的体对角线。是直角三角形，且DA=AB=BC，因此可二固C答案：争。转化为正方体的外接球，则体对角线即变式：如图，在等腰梯形ABCDA正方体的外接球直径为、／。中，AB=2，DC=2，LDAB=60。，E为AB答案：x／围6仃。I的中点，将AADE与aBEC分别沿变式：在RtAABC中，LABC=90。，AB=、／，BC=I，DA上平ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，DC面ABC，DA=、／

5、，求三棱锥D-ABC的外接球的体积。求三棱锥P-DCE的外接球的体积。分析：折起后可证明三棱锥P-DCE为正四面体，因此可转化分析：如上图所示，DA=、／，AB=C为求正方体的外接球。、／丁，BC=1，所以三棱锥D-ABC的外接球是以DA，AB，AC为长，宽，高的长答案：V-订方体的外接球。2．有三个面是直角三角形的三棱锥：转化为正方体或长方体答案：、／仃的外接球方法：如图所示，在有三个面是直A4．对棱相等的三棱锥：转化为长方体的外接球D角三角形的三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC，则转化为正方体的外接球；若方法：如图所示，在三棱锥A—BC

6、D中，PA，PB，PC不全相等，则转化为长方体所有对棱相等，即AC=BD，AD=BC，A曰=cD的外接球则三棱锥A-BCD的外接球可转化长方体的外接球．例2．已知三棱锥P-ABC，ABPC=9009PA上平面BPC，例4．在四面体ABCD中，AB=CD=3、／，AC=BD=AD=BC=其中AB=BC=AC=a，P，A，B，C四点均在球的表面上，求该球3，求该四面体的外接球的表面积。的表面积。圈I生旦中学{罘{{辅哥分析：四面体ABCD对棱相等，因此C上，若AB=3，AC=4，AB．LAC，可转化为长方体的外接球．假设长方体的～A4=12，求该球

7、的半径。长，宽，高分别为a，b，c，则由a％b2=9，分析：如右图所示，两种方法c2+bZ=_18，C2+=9，得a2+bIc=36即长方体都可以。的体对角线长度为6。答案：。答案：36'rr。变式：上述条件改为‘B=CD，AC=BD，AD=BC，并且AB上2．直三棱柱：过上下底面作截CD，AC上BD”，则三棱锥为正四面体，因此可转化为正方体的外面，找截面圆的圆心f求半径，可考接球。虑正弦定理)，球心为截面圆圆心连线的中点。在球心，圆心，顶点5．底面是直角三角形，侧面均是等腰三角形且一个侧面与底构成的直角三角形中求外接球的半径。面垂直的三棱锥。

8、例7．三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2、／j，顶点方法：找截面在一个球面上，求该球的表面积。例5．一个几何体的三视图如下图所示依次为正视图，侧视