对流扩散问题的一种有限差分区域分解算法

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1、http://www.paper.edu.cn对流扩散问题的对流扩散问题的一种有限差分对流扩散问题的一种有限差分区域分解算法王传丽(吉林大学数学研究所应用数学专业,吉林长春)摘要本文提出了对流扩散问题的一种区域分解差分算法即在区域分解的基础之上对各个子域采用精度较高的交替方向隐格式差分方法来求解将所求得子域的解拚接即得整个区域的解此方法有很强的并行性文中给出了该算法的收敛性分析,数值实例的结果证实该方法是收敛的关键词区域分解算法交替方向隐格式对流扩散问题1引言考虑二维非稳定对流扩散问题(1)22∂u∂u

2、∂u∂u∂u−a−a+c+c=0(x,y)∈Ωt∈(0,T)x2y2xy∂t∂x∂y∂x∂yu(x,y,t)=g(x,y,t)(x,y)∈∂Ωt∈(0,T)_u(x,y,0)=u(x,y)(x,y)∈Ω0其中Ω=[0,1]×[0,1]gu是给定的充分光滑的函数而a,a,c,c为已知常数且0xyxya>0,a>0,a,a分别是x,y方向的扩散系数c,c为x,y的对流扩散系数对流扩散问xyxyxy题是水环境的数学模型及地下水资源的研究探索工作中经常遇到的模型因此研究对流扩散问题数值解法具有重要的实际意义此类

3、方程定解问题的解常常出现局部剧烈大梯度的变化如含有边界层瞬变层等这给问题的数值求解带来一定的困难2高阶交替方向隐格式方法由于问题1具有小扰动的特点使得用差分方法求解此类问题时必须采用相当精细1http://www.paper.edu.cn的网格剖分这样待求节点大量增加引起求解矩阵的阶增高导致计算量的急剧增加另一方面若采用一般隐式差分格式的求解矩阵在二维情形是五对角的在多维情形通常的显隐格式都不方便因此选择精度更高的计算量较小的无条件稳定格式显得尤为重要本文选用文献[1]中所提出的高阶交替方向隐格式法AD

4、I格式它对时间变量具有二阶精度而对空间变量具有四阶精度(下面所用记号同文献[1])2y2c∆x2cx∆2yL=1+(δ−δ)L=1+(δ−δ)xxxyyy12a12axy22c2∆y2cx∆x2y2A=−(a+)δ+cδA=−(a+)δ+cδxxxxxyyyyy12a12axy高阶交替方向隐格式∆t∆tn+1∆t∆tn(L+A)(L+A)u=(L−A)(L−A)u(2)xxyyxxyy2222或∆t*∆t∆t(L+A)u=(L−A)(L−A)(2a)xxxxyy222(L+∆tA)un+1=u

5、*(2b)y2y24计算过程中第一式的边值条件可用第二式计算求得此格式的精度为o(τ+h)并且为无条件稳定3区域分区域分解区域分解把整个区域分解成(M−1)×(L−1)个小区域并以小区域的分界线为中心线作L-2个纵向界面子域及M-2个水平界面子域见文献[2][3][4]____xyΩml=(xm−1,xm)×(yl−1,yl),Ωml∩Ωm+1,l=Γml,Ωml∩Ωm,l+1=Γml,x=0,x−1,y=1,y=1,0M0MxΓ={P:x=x,y≤y≤y},mlml−1lyΓ={P:y=y,x≤x

6、≤x}.mllm−1mxxyy∂Ω=Γ∪Γ∪Γ∪Γmlm−1,lmlm,l−1mlbebew=(x,x)×(0,1),w∩w=∅,x

7、llll0J=∂Ω∩∂v.llΩm,l+1eJvLlbJLΩm−1,lΩmlΩm+1,lylvl−1xxm−1mΩm,l−1wwm−1mbeIImm4区域分解差分算法类似于文献[2][3][4]所提出的方法对固定的时间层t=t,作n0次迭代计算得到该k层的数值解在第n步的迭代过程中首先在各子域上求解边值为前次迭代结果的Dirichlet问题将计算结果传给相邻的纵向或水平方向的界面子域然后在各界面子域上求解Dirichlet问题因此重叠部分的数值解得到更新最后将各子域的解拼接即可得整个区域的第n次迭代解具

8、体算法如下step0初始化(0)hV(P,t)=V(P,t),V(P,t)=u(P),P∪Ω.kk−110hStep1在Ω上求解V(P,t)使之满足mlmlk∆t∆t(n)∆t∆t(L+A)(L+A)V(P,t)=(L−A)(L−A)V(P,t),xxyymlkxxyyk2222hP∈Ωml3http://www.paper.edu.cnhh(n)g(P,tk),P∈∂Ωml∩∂ΩV(P,tk)=(n−1)hhV(P,t),P∈∂