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1、第2章线性代数方程组数值解法I：直接法考虑方程组(非奇异，且)(2.6.1)设有误差有误差，则因此引起解有误差，即有扰动方程组现在来研究如何通过和对的影响作出估计。定理2.6.1设方程组(2.6.1)中分别有扰动，，因而解向量有误差;又足够小，使得，则有误差估计式证明由两边取范数有得到得到又注意到有从而得到，故上述不等式左边乘以，右边圆括号第一项乘以，第二项乘以，并从括号中提出，则得(2.6.3)定理的结果实际包含两种特殊情形：(1)A精确，即，有扰动，从而(2)有扰动，精确，即，这时当很小时，上式可近似表示为2．条件数与病态方程组定义2.6.1设
2、为非奇异矩阵，称数即为矩阵的条件数。矩阵的条件数的一些基本性质：(1)任何非奇异矩阵，对任一算子范数均有(2)根据定义,可得(3)若为正交阵，即，则又非奇异，则(4)设与为按模最大和最小的特征值，则特别地，若（即A对称），则若对称正定，则证明略定理2.6.2（事后误差估计）设方程组,非奇异，，是精确解，是近似解，剩余向量,则有估计式证明：因，得，从而，于是，又由，于是得估计式右端类似地，由上述，得，或，由得，综合两式得估计式两端例2.6.13．事后误差估计定理2.6.2设方程组，非奇异，非奇异，，是精确解，是近似解，剩余向量,则有估计式例题讲解2例
3、题2.1对方程组Ax=b,A非奇异不一定能作顺序Gauss消去过程，或者说，A非奇异不一定有LU分解。证这类命题只需举一个反例即可。反例要尽可能简单，这里可考虑2阶、元素为1或0。构造反例一般要经过多次“失败-修正”过程。考虑A=，易见A非奇异。显然，顺序Gauss消去过程的第1步就不能进行。从LU分解来看，设有A=LU分解，则有==于是有b=0和ab=1同时成立，这就自相矛盾了。例题2.2设方程组=试手算（或辅以计算器）分别用（1）顺序Guass消去法（2）列主元Gauss消去法（3）直接三角分解法求解，要求计算中取4位有效数字，最后结果舍入成3
4、位有效数字。上述方程组用4位浮点数进行计算而舍入为3位有效数字的精确解为：解（1）顺序Gauss消去过程计算有第1步消元第2步消元回代过程求解并舍入得（2）列主元Gauss消去过程计算有选主元换行第1步消元选主元，仍为第2步消元回代过程求解并舍入（3）令A=LU，用Doolittle分解计算得由Ly=b解得有Ux=y解得与精确解比较可见，列主元Gauss消去法的解精确度最高；其他两种方法的解精确度较差，但彼此接近（这正好符合两种方法实质是一样的情况）。例题2.3Gauss消去法的一种自然而又简单的改进是所谓Gauss-Jordan消去法。先考虑顺序
5、Gauss消去法过程的情形。它只是把a这一列中a下面的元素消为0，而Gauss-Jordan消去过程则把a这一列元素的a以外全部消去为0，并且约化a=1。为此，需进行n步消元，第n列也消为只剩下一个元素1，其余均为0（因此，△≠0在这里也是必要的）。这样一来，不用回代过程，方程组的解就在b的位置上。现在依据上述导引，做（1）试用Gauss-Jordan消去法解方程组=（2）试给出Gauss-Jordan算法的核心部分。（3）由上述两点能得出什么思考？解（1）用增广矩阵的演变来描述求解过程→→→于是有x=（2，2，3）。（2）Gauss-Jordan
6、消去法算法的核心部分为：对k=1,2,…，n，做a←(j=k，k+1，…，n，n+1)对k=1，2，…，n∧i≠k,做a←a-aa(j=k+1,…,n,n+1)输出解x=a(i=1,2,…,n)（1）从上述做法可引发如下思考：Gauss-Jordan消去过程自然也可考虑加上选主元和换行的技巧；就计算量而言，Gauss-Jordan消去过程显然要大（可推导其乘除运算次数为级，而顺序Gauss消去过程乘除运算次数为级）。因此，用Gauss-Jordan消去法解方程组并不经济。但它有什么用途呢？这又引出一个新的思考。例题2.4 设LR为非奇异下三角阵，试
7、（１）写出求解方程组Lx=的计算公式；（２）统计上述求解过程的乘除法次数；（３）给出求L的计算公式。解（１）这是解下三角方程组的递推公式： （２）乘除法运算，第一式有１次，第二次=2时有2次，…，=时有n次，故上述公式的乘除运算次数有１＋２＋…＋=/2(次) （３）因L非奇异，存在，且由矩阵知识知也为下三角阵，记由，即考虑I的对角线元素，显然有于是得。考虑I对角线以下的元素，即对，则有 于是得 例题2.5设A=（aij）Rn*n对称，其顺序主子式△i≠0(i=1,2,…,n),试（1）证明分解A=LDLT存在唯一，其中L为单位下三
8、角阵，D为对角阵；（2）写出利用此分解求解方程组Ax=b的步骤（这称为改进的平方根法）；（3）用改进的平方跟法解方程组解（
