承压含水层中抽水井附近非达西流的近似解析解

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1、水利学报年月第卷第期文章编号承压含水层中抽水井附近非达西流的近似解析解文章黄冠华李健詹红兵中国农业大学水利与土木工程学院北京中国以色列国际农业研究培训中心北京德克萨斯农工大学地质与地球物理系美国摘要本文将线性化方法和变换相结合研究承压含水层中单一抽水井附近的非达西流问题得到了水位降深在抽水后期和抽水稳定阶段的近似解析解并对抽水后期近似解析解的适用性进行了讨论通过数值逆变换得到了任意时刻任意位置水位降深的半解析解并采用数值解对线性化方法所得到的近似解进行了验证研究结果表明在抽水后期水位降深随着定律中的两个常数的增大而减小在抽水后期水位降深近似为时间的幂函数在抽水稳定阶段水位降深可

2、以近似为距离的幂函数在抽水后期线性化方法所得到近似解与数值解吻合很好而在抽水初期线性化方法则存在一定误差会低估水位降深关键词非达西流定律变换线性化中图分类号文献标识码研究背景达西定律己被广泛应用于解决地下水渗流问题然而研究发现当水流流速过快或过慢时达西定律所描述的水流通量与水力梯度之间的线性关系将不复存在所有偏离达西定律的流动问题都可以归结为非达西流非达西流可以分为两大类前线性流和后线性流前线性流是指由于流速较慢而导致偏离达西定律的流动主要发生在石油工程或弱透水层中的水流中后线性流是指由于流速过快而偏离达西定律的流动比如抽水井附近有关研究建立了一系列描述非达西流的经验公式但应用

3、最为广泛的是定律和定律常安定等在定律的基础上采用变换方法得到了两种流态区域非达西与达西条件下井流的解析解刘元会等和王鹏举也对非达西流问题进行了相关研究分别对不同条件下抽水井附近的非达西流问题进行了研究采用变换方法得到了相应的解析解等在实验室发现单一裂隙介质中很容易发生非达西流等也采用变换方法得到了单一裂隙介质中抽水井附近非达西流情况下的解析解采用数值方法得到了非达西流情况下的数值解由于非达西流的高度非线性通常情况下关于非达西流的解析解较难获得尽管很多学者采用变换得到了非达西流情况下的解析解但变换在求解非达西径向流存在一定的问题主要是因为边界条件不能表示为变量?的完全函数导致了积

4、分常数是变量或时间的函数并进而导致变换的解析解产生一定的误差本文基于定律描述非达西流的条件下采用线性化方法和变换来求解非达西流问题得到了相应的近似解析解并将该结果与变换解进行比较收稿日期基金项目国家自然科学基金项目教育部新世纪优秀人才支持计划教育部创新团队计划作者简介文章男湖北公安人博士生主要从事地下水非达西流动的研究问题的提出与求解考虑承压含水层中抽水井附近的水流运动如图所示假设含水层均质各向同性抽水前整个含水层中水位降深相等且都等于零在这种情况下定解问题可以如下描述式中为离抽水井中心距离为抽水时间为含水层的储水系图均质各向同性完整抽水数为含水层的厚度为距离处时刻的水流通量井

5、抽水过程示意为距离处时刻的水位降深采用式作为抽水井中心的边界条件假定抽水流量始终保持不变等于水位降深解析解采用定律描述非达西流水流通量和水力梯度之间可用幂函数表示为式中和为经验系数在抽水井附近由于流速较大往往发生后线性非达西流值的范围一般在之间当时式即为达西定律此时就相当于达西定律中的渗透系数因此可以看作是表征介质传输水流速度快慢的一个特征参数在这里假设和均为常数将式代入式可得非达西流情况下水位降深的控制方程?由于上式有非线性项因而难以直接求解因此采用如下近似线性化方法式表明通过含水层任意断面的过水流量都为实际上只有在抽水井处过水流量为上述近似必然会带来一定误差尤其在抽水初期和

6、离抽水井较远的地方在抽水末期由于水流运动趋于稳定任意过水断面的流量将会趋于因此该近似在抽水后期更适用该近似方法已经被广泛应用于非牛顿流体研究中一些数值解已经证明该近似所带来的误差是可以接受的将式代入式消去非线性项可得为了简化起见在上式中用代替了下同式中经变换式变为相应的边界条件经过变换后可得式为一线性方程其解析解为式中为积分常数由边界条件确定为阶第一类虚宗变量贝塞尔函数为阶第二类虚宗变量贝塞尔函数由边界条件式和式可以得到式中为函数此时水位降深在拉氏空间下的解析解可以表示为在这里将采用数值逆变换的方法求得实空间下水位降深抽水后期和水流稳定时解析解在离水抽水井较近的地方一般抽水后水

7、流很快达到稳定因此分析抽水后期和抽水稳定阶段尤为重要由于变量与抽水时间成反比在抽水后期变量较小此时近似解析解可以取较小时的近似值当较小时第二类虚宗变量贝塞尔函数可近似为从而有将式代入式可得根据变换的性质???以及函数的性质式可简写为式中在抽水稳定阶段由于水位降深不随时间变化即?此时式将变为或由式可知将式代入式可以得到当抽水稳定后离抽水井一定距离之外的水位降深将为零又称为影响半径对式积分可得到稳定时期水位降深的近似表示从式可以看出在稳定阶段水位降深是的函数这表明水位降深随着距离的增加呈幂函数趋