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1、第五讲非平稳序列的随机分析本讲内容第一部分ARIMA模型一、差分运算二、ARIMA模型第二部分残差自回归(Auto-Regressive)模型第三部分异方差一、异方差的性质二、方差齐性变换三、条件异方差模型本讲内容第一部分ARIMA模型一、差分运算二、ARIMA模型第二部分残差自回归(Auto-Regressive)模型第三部分异方差一、异方差的性质二、方差齐性变换三、条件异方差模型Cramer分解定理(1961)任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加:其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分,另一部分是平稳的零均值误差成分,即确定性影响随机性影响差分运算的实质Cr
2、amer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息=差分方式的选择原序列时序图差分后序列时序图序列蕴含着显著的线性趋势,一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分就可以提取出曲线趋势的影响差分后序列时序图一阶差分二阶差分例:差分运算提取1995年1月—2000年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算,通常可以较好地提取周期信息12步差分1阶-12步差分过差分足够多次的
3、差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费例:假设序列如下考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差比较一阶差分平稳方差小二阶差分(过差分)平稳方差大二、ARIMA模型(一)ARIMA模型介绍(二)疏系数模型(三)季节模型ARIMA模型结构使用场合:差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)p=0ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(p,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(rand
4、omwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问:假如有个醉汉醉得非常严重,完全丧失方向感,把他放在荒郊野外,一段时间之后再去找他,在什么地方找到他的概率最大呢?ARIMA模型的性质1、平稳性:ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根,其中p个在单位圆内,d个在单位圆上。所以当d≠0时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。2、方差齐性:d≠0时序列方差非齐性()ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例:对1952-1988年中国农业实际国
5、民收入指数序列建模一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合ARMA模型偏自相关图建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计:arima(x,order=c(0,1,1),xreg=1:length(x))(1-B)=4.9956+(1+0.6710B)Var()=53.42模型检验模型显著参数显著课后问题用R拟合以下三个模型的区别,三个模型的表达式分别是什么形式?arima(x,order=c(1,1,0))arima(diff(x),order=c(
6、1,0,0))arima(x,order=c(1,1,0),xreg=1:length(x))ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理Green函数递推公式预测值例:已知ARIMA(1,1,1)模型为且求的95%的置信区间预测值等价形式计算预测值计算置信区间Green函数值方差95%置信区间例续:对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测(二)疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p,移动平均最高阶数为q的模型,通常它包含p+q个独立的未知系数:如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零,即原模型中有部分系数省缺了,那么该
7、模型称为疏系数模型。疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数,那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数,那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺,可以简记为例:对1917年-1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模自相关图偏自相关图建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计:arima(x,order=c(4,1,0),transform.pars=F,fixed=c(NA,0,0,NA))(1-B)xt=模型检验模型显著参数显著(三)季节模型1、简单季节模型