非常极凸空间.pdf

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1、第16卷第2期应用泛函分析学报Vo1．16，No．22014年6月ACTAANALySISFUNCT10NALISAPPLICATAJune，2014DOI：10．3724／SP．J．1160．2014．00189文章编号：1009·1327(2014)02—0189．04非常极凸空间季乐文，魏文展，蓝美玲z(1．广西师范学院数学科学学院，南宁530023；2．江西理工大学文法学院，赣州341000)摘要本文使用非常极凸的定义，证明了非常极凸和非常光滑是互为对偶空间且严格介于弱k凸和非常凸之间的空间，最后得到了非常极

2、凸的一些特征．关键词非常极凸；弱k凸；非常凸中图分类号O177．2文献标识码A1引言Sullivan最早给出了非常凸的定义，证明了非常凸和非常光滑空间是互为对偶空间，给出了非常光滑的一些性质，如是非常光滑，则X具有Radon-Nikodym性质，但没有给出非常凸空间与其他凸性之间的关系．文【1]推广了非常光滑空间，即k一非常光滑，并给出了k一非常光滑的一些等价刻画．文【2】给出了非常凸的另一种形式，通过这种形式得到了非常凸与严格凸、弱中点一致凸以及强凸之间的关系．文【3]进一步研究了非常凸空间，利用了局部自反原理证明

3、了上述两个定义等价，给出了非常凸与Radon—Nikodym性质之间的关系．文[4]给出了一致极凸空间，强凸是一致极凸的推广，最后给出了一致极凸的一些性质以及与其他凸性之间的关系．本文在文[4]的基础上提出了非常极凸空间，这个概念弱于一致极凸但强于非常凸，在文【6]提出了u—drop性质，而—drop性质弱于drop性质，文【12]给出了k-drop凸空间定义，同时得到了k-drop凸具有drop性质以及一些特征，这里我们证明了非常极凸具有—drop性质，最后给出了非常极凸的一些等价刻画．2定义及引理在本文中表示实B

4、anach空间，其中分别表示的共轭空间．S(0，1)=x∈X⋯X『I=1)；Bx(O，1)：{∈XIllll1)；V∈Sx(O，1)，f∈Sx·(0，1)，Sx={，∈Sx+(0，1)lf(x)=IIxll}；f∈Sx·(0，1)，Af={∈Sx(O，1)lf(x)=If．I}，F(f，5)={∈XIf(x)1—；∈Sx(O，1))，M上={，∈X1，()=0，∈M)．dimAf，dim表示A，，&的维数．定义2．1称是非常极凸，对任意的f∈Sx+(0，1)，x)，{)cSx(O，1)，当f(x)一1，f(Y)一1时

5、，有X一Y一0()．注1由上述的定义知：一致极凸蕴含非常极凸空间，非常极凸蕴含非常凸，进而是严格凸空间．定义2．2[】称是非常光滑，对任意的∈5(0，1)，<)C5(0，1)，当()一l时，存在∈Sx(0，1)有X()．定义2．3[。】称具有—drop性质，对任意的与Bx(0，1)不相交的弱序列闭集CC，存在X∈C，使得D(x，Bx(0，1))nC={)其中D(x，Bx(O，1))=co{x，Bx(O，1))．引理2．1[】是非常光滑，则X具有自反性．收稿日期：2013—09—06资助项目：广西自然科学基金(0728

6、050)作者简介：季乐文(1989一)，男，汉，江西抚州人，硕士研究生，研究方向：泛函分析，E—mail：jilewen2008@163．com190应用泛函分析学报第16卷引理2．2【。一7]以下条件等价：(1)X具有u—drop性质．(2)具有自反性．(3)对任意的f∈(0，1)，x)cSx(O，1)，以及f(x)一l(n一。。)时，有{)是相对弱序列紧．3主要结果与证明定理3．1是非常极凸的充要条件为是严格凸且具有—drop性质．证明必要性．由定义2．1和引理2．2易证．充分性．假如不是非常极凸，则存在t厂，g

7、∈Sx(0，1)，{)，{)CSx(0，1)，E0>0，当f(x)一1，f(y)一1时，有Ig(x一Y)l0，这里的X，Y分别是，Y的子序列．由于f(x)一1，f(y)一1，根据已知条件知{)，{)是相对弱序列紧，即X一()，Y一()，而是严格凸，所以X=Y，因而Ig(x一Y)IIg(x一XI+lg(y一)l一0，这与假设矛盾．推论3．1X是非常极凸具有白反性．定理3．2(1)是非常极凸的充要条件为x是非常光滑且具有自反性．(2)X是非常光滑的充要条件为是非常极凸．证明由定义2．1，定义2．2，引理2．1，推论3．1

8、以及定理3．1可得．推论3．2是非常极凸的充要条件为是非常凸且具有自反性．定理3·3X是非常极凸的充要条件为vf，g∈Sx+(0，1)，使得=0．证明必要性．假如必要性不成立，则存在0>0，∈(0，1)，使得ll，+AngIl+lI．厂一Augll一2、。。‘因此Il，+Angll+lI，一An9川一2CO，进一步有2+CO一2lI，+入9II