圆中的压轴题.doc

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1、圆中的压轴题常考知识点：1、说明某条线是切线（两种常考方案，一种是说明垂直，另一种是说明距离相等）2、利用K形相似或其他特殊条件（等腰三角形，直角三角形）求解线段长度3、利用切线性质求解线段长度例1：如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式．解：（1）证明：依题意可知，A（0，2）∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x轴．∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上

2、，∴PA是⊙O的切线；（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．∴△OBC≌△PEC．∴OC=PC．（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，∴x2=(4－x)2+22，解得x=，……………………4分∴BC=CE=4－=，∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=．∴OD===，

3、由点B在第四象限可知B（，）；解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，∴△OBC≌△PEC．∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2＋PE2,∴x2=(4－x)2+22，解得x=，………………………………4分∴BC=CE=4－=，∵BD∥x轴，∴∠COB=∠OBD，又∵∠OBC=∠BDO=90

4、°，∴△OBC∽△BDO，∴==，即==．∴BD=，OD=．由点B在第四象限可知B（，）；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得；解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．【考点解剖】本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．【解题思路】（1）点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2）要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要

5、求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中,PE=OA=2,PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．【方法规律】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.例2：如图所示，

6、AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3718684分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而

7、CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可．解：（1）证明：连结OC，如图，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°

8、，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，∴∠1=∠2，∴AF=CF；（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=AF=1，∴AD=DF=，∵AF∥CG，∴DA：