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1、1953年3月数值计算与计算机应用第1期*周期性边界条件的一种处理方法黄艾香(西安交通大学)AMETHODFORTREATINGPERIODICALBOUNDARYCONDITIONSHuangAi一xi是犯ng乞’J落ao忿。儿gU”公”‘rs公才y(X赫)AbstraCtTlli,paPergivesanlethodforremovingperiodiealeonstrainteonditionsundortheeononoaianearesoesseoneeeznenaeraeeuaons.ditifmntiingftufthytm
2、ffiitltlgbiqtieeareolseto5aenunlerovaraesanoreroone一ensThftuftlimhd1thtthbfiblddfdimioal,-arrangementremainsunehangedsymmetryandpositivedefiniteProPertiesaremainaeaneeoeseoeanseae.5roveae七inddthhlkymthdtillbPPlidIt1Pdthtth场mtliod15e,.xtlemelyeonvenientandeffeetinPraetiee一
3、、引言.,经,在数学物理方法中常会遇到有部分边界满足周期性条件的边值问题例如在透2,,平机械内部三元流动的流场延伸部分人工分界线(面)上(如图1中几几1)流函数沙32,:.r~训r+‘2),在边界2,满足周期性边界条件叫又如电机中的磁场分布(如图几3:,.;,AArr,几半径相同处其磁位满足周期性条件}一一A}若对具有这类条件的微分方程运用有限元方法,那么在求解过程中得到的有限元方程组就必须处理周期性约束条件.在约束条件是线性情形时,一般采用拉格朗.这种方法需要增加求解参数.日乘子法,解除周本文给出一种在不增加变量个数并保持方程组对称正定
4、的情况下期性约束条件的方法.设有限元方程组为,Ax一B其中(1).*19L8年夕月26日收到数值计算与计算机应用1983图1透平机械流面示意图图2电机转子截面示意图l‘.砚口、、户ala才、了、J户.古b才了甄/Z1bIA”一:’一({’,‘月i月2‘’.””口口召bA为对称正定矩阵.,x‘,在(l)式中若某两个变量勺有周期性约束x了=ax;一Q,(2),.aQ为常数不失一般性,i>j,2,其中可设我们的目的是对方程组(l)解除约束()使得方程组;l)不改变方程的个数和变量的个数2)保持系数矩阵的对称性与正定性;3)若(l)中系数矩阵是
5、带状的,;则尽量不改变或少改变半带宽斗)若(l)中系数矩阵是按一维排列顺序存贮,则不改变一维排列顺序.二、解除周期性约束和矩阵变换设初等矩阵石,iaI+,‘,eie,3()一(}一)歹(夕。.i10,,‘,~(,,,,,,,,T这里其中是第个分量为其余分量为的单位向量{{}{二⋯纷)刃,,a,,,{圣=l刀{}=刀{}=o(z铸i了)对(l)作变换、.石,,(a)Ax=石j(a)B4()··}E,s(a)A}一!E,i(a)}}才}一}才l知(4)与(l)是等价的.用(2)代替(4)中第j个方程有Aix=i,B(5)1:周期性边界条件的一
6、种处理方法期黄艾香其中‘aijali、1、2、1‘.e1布
7、⋯一aoA1‘’‘‘,11aii+aaiz二aii+aa‘ia一+aa⋯an口月月i。.,,,一:,,+:,,‘’‘,rB一(bb,一口bsbi+abib)⋯⋯记、产、/,.‘,e。,·~I+(夸i6”“t)l一)歹(),,,,,.其中向量妙~(井终,杏:T⋯这里杏},l,,l+a11aa、s,,a,il铸i,{~杏:二~一()一杏l}-一(j)对(约作变换L、jaA:x一‘jaB,()L()得ZxBZ,7A()其中a汗⋯AZ‘,a注;~L()一(硫理碑⋯BZ‘iaB,~~L()
8、这里a,,a,a,a,,J.J一一l‘es姗歼奢{子}子={l一一a·一必彭~i,,,,,n⋯l卿a左i一aa左s(左铸j友~l2”))“"‘aii,aa,,,ba.卿(z)必~ac++aaii其余卿=a*s,,,,,,(8)b*+口(友粉ij友=l2n⋯),占2,=c占ia,一Q:夕++bza.(l十z,)a十a‘1由于·AZ‘,a刁:乙‘,a汉,一}:,}}~匡()}=1()}{}汉}75,而且是(42,也是将(l)解除了约束(2故()与()等价)解除了约束()后所得到的方程组)..,的方程组从(s)可以看出(7)仍然保持了系数矩阵的
9、对称性.,A:,A,,“下面证明仍为正定矩阵事实上对作合同变换变换矩阵取Ei()那么数值计算与计算机应用1983自注(。〕=E,,(a)AEz、(a).、2、1龟1.
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