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时间:2017-12-08
《数学建模案例分配参议院名额》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、分配问题前言每十年,美国联邦政府为重新分配众议院代表名额而进行全国人口普查。名额的重新分配是为了更公平的确定各州代表名额(毋庸置疑,人口相同的州应该获得相同数目的代表名额)。然而,在2000年,美国人口普查以后,犹他州(Utah)向联邦政府提出控诉,说,分配给卡罗莱纳州的名额应该是他们的。那么,在这个分配问题后的数学本质是什么?犹他州的控诉合理吗?在开始以前,让我们想想我们自己的分配方法。假定有一个镇,分为五个地区,人口总数20,000。(见表1)地区ABCDE人口8150532231882353987表1:各地区的人口如果现在政府有20个代表
2、名额,那么,我们应该怎样分配给这些地区呢?请给出一个尽可能“公平”的方案。一、Hamilton解决方案一个通常的想法是:20个代表,代表20,000个人,那么,每1000个人中就应产生1名代表。地区A有8150个人,因此应有8.15个代表,我们把数字8.15称为地区A的配额,记作QA=8.15。其他地区的配额很容易得到。如果给A地区9个名额,那是不公平的,(只要多于8.15就不公平)否则,对A地区来说,一个代表代表的将不足1000个人。但是,如果给A地区8个名额,同样也不公平,否则,对A地区来说,一个代表代表的将不止1000个人了。对每个地区来
3、说,至少应获得的代表名额是它们配额的整数部分(见表2第3行)地区ABCDE人口8150532231882353987配额(20个代表)8.155.3223.1882.3530.987配额(21个代表)8.565.593.292.471.03表2:各地人口及配额也就是说,A地区至少要有8个名额,B地区至少要有5个名额,C地区至少要有3个名额,D地区至少要有2个名额,另外,因为必须要为每个地区分配名额,所以E地区至少应有1个名额。然而这时的总代表名额仅为19。哪一个地区应该获得最后一个名额呢?Hamilton方案把最后一个名额给在配额中小数部分最大
4、的地区。在这种情况下,我们将把最后一个名额给D地区,它配额的小数部分是0.353。我们不难得到此时的分配方案:A地区8个名额,B地区5个名额,C地区3个名额,D地区3个名额,E地区1个名额。B地区也许有些失望,因为它仅仅由于相差32个人而失去了一个名额。这种方案首先由AlexanderHamilton提出,为美国众议院分配代表名额,从1850年沿用至1900年。但从以上分析中不难发现,这种分配方案存在问题。B地区因32人之差而失去了一个名额。假如我们有21个名额,那么B地区应该满意了。在相同的地区,相同的人口数量下,如果要分配21个名额,那么,
5、每名代表将代表952个人。用952除每个地区的人口数量得到该地区的配额。如果每个地区至少获得其配额整数部分的名额,那么,A地区至少要有8个名额,B地区至少要有5个名额,C地区至少要有3个名额,D地区至少要有2个名额,E地区至少要有1个名额。而这时的名额总数仅为19,如果我们把剩下的2个名额给相应配额小数部分最大的地区,那么B地区和A地区将获得这两个额外的名额,因为它们配额的小数部分分别是0.59和0.56,因此按Hamilton方案,A地区将获得9个名额,B地区将获得6个名额,C地区将获得3个名额,D地区将获得2个名额,E地区将获得1个名额。B
6、地区很满意,但对D地区呢?当名额总数为20时,D地区被分配了3个代表,但是当名额总数增至21时,D地区反而只分配了2个名额。事实上,当名额总数增加时,我们总希望有些地区获得的代表名额有所增加,但我们从来不希望有一地区在此情况下获得的代表名额反而减少。Hamilton方案看上去似乎是一个极符合道理的分配方案,但它将会导致不可接受的结果。一个地区会仅仅由于名额总数的增加而失去一个代表名额。这被称为亚拉巴马矛盾(AlabamaParadox)因为如果1880年众议院将代表总数增至300人(原计划),亚拉巴马州将有代表名额减少。因此为了避免这种情况发生
7、,名额最后被改为325人。二、一种不同的方案——根据不公平指标分配衡量公平的标准之一是在每个州中,相同数目的人中产生一个代表。如果在一个州中,每500个人中我们给了一个代表名额,那么,在所有其他州中,我们也必须给每500个人分配一个名额。一旦偏离了这一准则,不公平现象就会出现。考虑两个州,X和Y,人口数目分别为100,000和600,000。假如X有5个代表,Y有4个代表。这是公平的吗?X每20,000个人中产生一个代表,Y每15,000个人中产生一个代表。对X来说,这是不公平的,因为它的一个代表多代表了5000个人。如果X有人口PX,代表RX
8、,Y有人口PY,代表RY,那么这种分配方案的不公平程度PPPPPPXYXYXY可用−来定义(如果−>0),这种不公平是对X而言的,我们称−为RRRRR
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