数学建模案例分配参议院名额

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1、分配问题前言每十年，美国联邦政府为重新分配众议院代表名额而进行全国人口普查。名额的重新分配是为了更公平的确定各州代表名额（毋庸置疑，人口相同的州应该获得相同数目的代表名额）。然而，在2000年，美国人口普查以后，犹他州（Utah）向联邦政府提出控诉，说，分配给卡罗莱纳州的名额应该是他们的。那么，在这个分配问题后的数学本质是什么？犹他州的控诉合理吗？在开始以前，让我们想想我们自己的分配方法。假定有一个镇，分为五个地区，人口总数20，000。（见表1）地区ABCDE人口8150532231882353987表1：各地区的人口如果现在政府有20个代表

2、名额，那么，我们应该怎样分配给这些地区呢？请给出一个尽可能“公平”的方案。一、Hamilton解决方案一个通常的想法是：20个代表，代表20，000个人，那么，每1000个人中就应产生1名代表。地区A有8150个人，因此应有8.15个代表，我们把数字8.15称为地区A的配额，记作QA=8.15。其他地区的配额很容易得到。如果给A地区9个名额，那是不公平的，（只要多于8.15就不公平）否则，对A地区来说，一个代表代表的将不足1000个人。但是，如果给A地区8个名额，同样也不公平，否则，对A地区来说，一个代表代表的将不止1000个人了。对每个地区来

3、说，至少应获得的代表名额是它们配额的整数部分（见表2第3行）地区ABCDE人口8150532231882353987配额（20个代表）8.155.3223.1882.3530.987配额（21个代表）8.565.593.292.471.03表2：各地人口及配额也就是说，A地区至少要有8个名额，B地区至少要有5个名额，C地区至少要有3个名额，D地区至少要有2个名额，另外，因为必须要为每个地区分配名额，所以E地区至少应有1个名额。然而这时的总代表名额仅为19。哪一个地区应该获得最后一个名额呢？Hamilton方案把最后一个名额给在配额中小数部分最大

4、的地区。在这种情况下，我们将把最后一个名额给D地区，它配额的小数部分是0.353。我们不难得到此时的分配方案：A地区8个名额，B地区5个名额，C地区3个名额，D地区3个名额，E地区1个名额。B地区也许有些失望，因为它仅仅由于相差32个人而失去了一个名额。这种方案首先由AlexanderHamilton提出，为美国众议院分配代表名额，从1850年沿用至1900年。但从以上分析中不难发现，这种分配方案存在问题。B地区因32人之差而失去了一个名额。假如我们有21个名额，那么B地区应该满意了。在相同的地区，相同的人口数量下，如果要分配21个名额，那么，

5、每名代表将代表952个人。用952除每个地区的人口数量得到该地区的配额。如果每个地区至少获得其配额整数部分的名额，那么，A地区至少要有8个名额，B地区至少要有5个名额，C地区至少要有3个名额，D地区至少要有2个名额，E地区至少要有1个名额。而这时的名额总数仅为19，如果我们把剩下的2个名额给相应配额小数部分最大的地区，那么B地区和A地区将获得这两个额外的名额，因为它们配额的小数部分分别是0.59和0.56，因此按Hamilton方案，A地区将获得9个名额，B地区将获得6个名额，C地区将获得3个名额，D地区将获得2个名额，E地区将获得1个名额。B

6、地区很满意，但对D地区呢？当名额总数为20时，D地区被分配了3个代表，但是当名额总数增至21时，D地区反而只分配了2个名额。事实上，当名额总数增加时，我们总希望有些地区获得的代表名额有所增加，但我们从来不希望有一地区在此情况下获得的代表名额反而减少。Hamilton方案看上去似乎是一个极符合道理的分配方案，但它将会导致不可接受的结果。一个地区会仅仅由于名额总数的增加而失去一个代表名额。这被称为亚拉巴马矛盾（AlabamaParadox）因为如果1880年众议院将代表总数增至300人（原计划），亚拉巴马州将有代表名额减少。因此为了避免这种情况发生

7、，名额最后被改为325人。二、一种不同的方案——根据不公平指标分配衡量公平的标准之一是在每个州中，相同数目的人中产生一个代表。如果在一个州中，每500个人中我们给了一个代表名额，那么，在所有其他州中，我们也必须给每500个人分配一个名额。一旦偏离了这一准则，不公平现象就会出现。考虑两个州，X和Y，人口数目分别为100，000和600，000。假如X有5个代表，Y有4个代表。这是公平的吗？X每20，000个人中产生一个代表，Y每15，000个人中产生一个代表。对X来说，这是不公平的，因为它的一个代表多代表了5000个人。如果X有人口PX，代表RX

8、，Y有人口PY，代表RY，那么这种分配方案的不公平程度PPPPPPXYXYXY可用−来定义（如果−>0），这种不公平是对X而言的，我们称−为RRRRR