＂舍近求远＂是为了体验做数学的过程--从用解析法证明“切割线定理”谈起

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1、』J一6数学数学2013年第11期“舍近求远"是为了体验做数学的过程～从用解析法证明“切割线定理”谈起200071上海市市北中学舒适一、问题提出点0引圆的切线(=)点M为切点，也在解析几何习题中，有这样一道题：若直有l(二)P1．1oQl：IOMI成立．利用坐标系平线=与圆C：(X一2)+2=3交于P、Q两移对以上结论进行推广，就得到了“切割线点，求lOP1．IOQI．原以为这道题用“切割线定定理”的解析法证明．这样教好像是“舍近求理”很快就可以解决．笔者提问学生，看看大家远”了，但其实是为了让学生体验做数学的过有什

2、么解决方法?A同学说利用代入k的特殊程，给他们创造更多的思考空间．通过这个问值进行计算，这种方法可以得出答案，但显然题的设计，如果能让学生深刻理解解析几何的缺少了推理的过程：B同学试图用初中圆的“切本质，这就不仅仅是解决了一个问题而已．割线定理”来解决此题，这正符合笔者的教学二、课堂实录预设．但非常遗憾的是，很多学生并不熟悉这下面是这堂课教学实录的片段：个定理，原来这个知识在初中只是作为拓展内师：大家看看IOPl·IOQI这个式子，能想容让学生略作了解．摆在笔者面前的一条近路到什么?是先给学生补充该定理，然后用结论解

3、决问题；生1：能想到向量的数量积公式．远的一条路是和学生一起探究，利用已有知识师：非常好．我们学习过向量的数量积公式，请你具体说说看怎样解决?找出解决问题的办法．若抄近路的话，可以很快得到答案，但这样离“二期课改”提出的课堂三生1：因为．：III1c刚，维目标的要求相差较远．一一方面，教师让学生设P、Q两点的坐标分别为(Xl，Y1)和(X2，Y2)．先证明“切割线定理”，对于学生来说会觉得很师：那么COS0等于多少呢?突7，他们会问：为什么要先证明这个定理呢?生1：因为0p与0Q的夹角0=0，所从题目本身出发，实在很

4、难自然地与之产生联以COS0=1，故1OPI·IOQl=(=)户·(二)Q=1X2+系．另一方面，如果“走”这条近路，没有从学生12．已有知识出发，解决问题过程也不自然，关键师：说得很好．那么又怎样表示X】X2+YlY2呢?它和什么有联系呢?是留给学生思考的空间实在太有限，笔者决定舍弃这条“捷径”．解析几何的本质是利用代数生1：XlX2+YlY2=(1+k2)XlX2，我们可方法解决几何问题，不妨鼓励学生试试看，用以将直线方程与圆方程联立，利用韦达定理，得到XlX2的表达式．解析法解决问题．首先让学生从解析几何的角‘

5、‘度求出lOP1．1OQI；然后引导学生提出一个猜．Y—kx，(X一2)+Y=3，‘想，即IOP1．1OQ1=IOMI2,0M为圆的切线，．．fX一2)+fkx)=3．整理得，(1+)2—4+1=0，点M为切点．在这一猜想成立的基础之上，引‘导学生证明对于圆C：(X—n)+(Y一61=r(原．．(1+k2)xlx2=(1+k。)=1．点(二)在圆外)，若从点0引圆的割线交师：非常好，将几何问题成功转化为代数圆：(一0)0+(Y—b)=r于P、Q两点，从问题，得出了lOPI·IOQI=1．请大家思考一个2013年第l1

6、期数学款学ll一，}问题，IOPOQl是一个定值，大家说说看这个生4：原来初中的这个定理用高中解析几定值和什么量有关?何的方法也可以解决．解析法是研究几何问题师：大家试着从当点P与点Q无限趋近时，的一个很好的方法．再结合由原点向圆引切线的切线长去思考这个三、我的思考问题，猜猜看IOPl·jOQl等于多少?1．要创设机会让学生体验做数学的过程生2：我猜测IOP1．_OQI=lOMI，OM为本节课我们创设了不少让学生体验“做数圆的切线，点为切点．因为随着割线位置的学”的过程的机会，体现在问题的不断转化上．变化，当点P与点

7、Q无限趋近时，它们都趋近主要有两个环节．第一个环节，针对这道题，将于点几何问题转化为代数问题解决，让学生体会了师：很好，经过计算得10I=1，你猜I(二)PI解析几何的本质．第二个环节，引导学生进行·IOQl=lOMI是对的．那么对于圆：(—n)猜想并加以证明，再利用坐标系平移对以上结(Y一6)2=r(原点0在圆C外)，若从点0引论进行推广，得到“切割线定理”．其中学生猜圆C的割线交圆：(—n)+(Y一6)=r于想I(=)P__IOQl=IOMI~,蕴含了极限思想．教P、Q两点，从点(二)引圆的切线(=)点M为师要有

8、创设机会让学生体验“做数学”过程的意切点，也有1OPl·lOQI=IOM[成立吗?识，才能利用好教学中的资源，设计出让学生生2：成立的．充分参与体验的教学活动或课程．证明：当直线PQ斜率存在时，2．问题选取和搭设要合理设直线PQ方程：Y=kx，P、Q两点的坐标问题的选取要考虑到学生已有知识的积分别为(Xl，Y1)和(X2，Y2)．累情况和现实的