【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.11 导数的应用随堂训练 理 新人教A版.doc

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1、2.11导数的应用一、选择题1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)图象可能是(　　)　解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除答案B，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C，最后就只有答案D了，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快．答案：D2．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)　A．(0，＋∞)B.C．(－∞，－1)D.解析：由y＝4x2＋得y′＝8x－，令y′>0，即8x－>0，解得

2、x>，∴函数y＝4x2＋在上递增．答案：B3．如果函数y＝f(x)的图象如下图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是(　　)解析:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A满足．答案：A4．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的范围是(　　)A．a>3B．a≥3C．a<3D．a≤3用心爱心专心解析：由f(x)＝x3－ax得f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，∵3x2≥3，∴a≤3.若a＜3则f′(x)>0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立．若a＝3，x∈(－∞，－1)时f′(

3、x)>0恒成立，x＝－1时f′(－1)＝0，∴a≤3.答案：D二、填空题5．函数y＝x4－8x2＋2在[－1,3]上最大值为__________．解析：由y＝x4－8x2＋2得y′＝4x3－16x，令y′＝0，即4x3－16x＝0.得x＝－2(舍去)或x＝0或x＝2，经比较可知，当x＝3时函数取得最大值ymax＝11.答案：116．已知f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是__________．解析：由f(x)＝sinx＋2x得f′(x)＝2＋cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数．由f(1－

4、a)＋f(2a)<0，即f(2a)

5、-8x+1)，由V′=0，得x=或x=.用心爱心专心∵当x∈(0，)时，V′＞0，V是增函数；当x∈(，)时，V′＜0，V是减函数；∴当x=时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为.答案：三、解答题8．已知函数f(x)＝，x∈[0,1](1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．解答：(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0解得x＝或x＝(舍去)．当x变化时，f′(x)、f(

6、x)的变化情况如下表：x0(0，)(，1)1f′(x)不存在－0＋不存在f(x)－－4－3∴当x∈(0，)时，f(x)是减函数；当x∈(，1)时，f(x)是增函数．当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．(2)对函数g(x)求导，得g′(x)＝3(x2－a2)．∵a≥1，当x∈(0,1)时g′(x)＜3(1－a2)≤0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时，有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即当x∈[0,1]时，有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任给x1

7、∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3].解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.9．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；用心爱心专心(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．解答：(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－

8、2a]ex＝0，从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－，x2＝a