【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.11 导数的应用随堂训练 理 新人教A版.doc

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1、2.11导数的应用一、选择题1.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)图象可能是(  ) 解析:从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除答案B,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出y=f(x)的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除A、C,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.答案:D2.函数y=4x2+的单调增区间为(  ) A.(0,+∞)B.C.(-∞,-1)D.解析:由y=4x2+得y′=8x-,令y′>0,即8x->0,解得

2、x>,∴函数y=4x2+在上递增.答案:B3.如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导函数y=f(x)的图象可能是(  )解析:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.答案:A4.已知f(x)=x3-ax在(-∞,-1]上递增,则a的范围是(  )A.a>3B.a≥3C.a<3D.a≤3用心爱心专心解析:由f(x)=x3-ax得f′(x)=3x2-a,由3x2-a≥0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立,∵3x2≥3,∴a≤3.若a<3则f′(x)>0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立.若a=3,x∈(-∞,-1)时f′(

3、x)>0恒成立,x=-1时f′(-1)=0,∴a≤3.答案:D二、填空题5.函数y=x4-8x2+2在[-1,3]上最大值为__________.解析:由y=x4-8x2+2得y′=4x3-16x,令y′=0,即4x3-16x=0.得x=-2(舍去)或x=0或x=2,经比较可知,当x=3时函数取得最大值ymax=11.答案:116.已知f(x)=sinx+2x,x∈R,且f(1-a)+f(2a)<0,则a的取值范围是__________.解析:由f(x)=sinx+2x得f′(x)=2+cosx>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上递增且是奇函数.由f(1-

4、a)+f(2a)<0,即f(2a)

5、-8x+1),由V′=0,得x=或x=.用心爱心专心∵当x∈(0,)时,V′>0,V是增函数;当x∈(,)时,V′<0,V是减函数;∴当x=时,V有最大值,此时正六棱柱的底面边长为.答案:三、解答题8.已知函数f(x)=,x∈[0,1](1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解答:(1)对函数f(x)求导,得f′(x)==-.令f′(x)=0解得x=或x=(舍去).当x变化时,f′(x)、f(

6、x)的变化情况如下表:x0(0,)(,1)1f′(x)不存在-0+不存在f(x)--4-3∴当x∈(0,)时,f(x)是减函数;当x∈(,1)时,f(x)是增函数.当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].(2)对函数g(x)求导,得g′(x)=3(x2-a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时g′(x)<3(1-a2)≤0.因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].任给x1

7、∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤.9.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.(1)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;用心爱心专心(2)设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.解答:(1)对函数f(x)求导数,得f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex.令f′(x)=0,得[x2+2(1-a)x-

8、2a]ex=0,从而x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-,x2=a

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