第1-7节数列极限的例题和习题

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1、第1-7节数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.称一个数列xn(n1,2,)为无穷小量，即limxn0，用“N”说法，就是它满足条n件：任意给定正数，都有对应的正整数NN()，当nN时，

2、

3、xn.称一个数列xn(n1,2,)为无穷大量，即limxn，用“MN”说法，就是它满

4、足n条件：任意给定正数M，都有对应的正整数NN(M)，当nN时，

5、xn

6、M.特别，limxn，就是它满足条件：n任意给定正数M，都有对应的正整数NN(M)，使当nN时，xnM.而limxn，就是它满足条件：n任意给定正数M，都有对应的正整数NN(M)，使当nN时，xnM.无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当xn0(1,2,)时，n11若x是无穷大量，则是无穷小量；若x是无穷小量，则是无穷大量.nnxxnn在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就

7、必须用“N”说法才能够证明.你看一看其中的证明，可以学习到如何用“N”说法做数列极限证明题的方法.例1设有数列x(n1,2,).证明：若有极限limx，则算术平均值的数列nnnx12xxnynn(1,2,)nx12xxn也有极限且limlimxn.nnn证设limxan.考虑nx1x2xnn(x1a)(x2a)(xa)ynaann任意给定正数.因为limxan，所以有正整数N1使

8、xna

9、(nN1).于是，n2第1章函数的极限和连续函数25x1x2xnn(x1a)(x2

10、a)(xa)ynaann(x1a)(x2a)(xN111a)(xNa)(xna)n(x1a)(x2a)(xN11a)(nN11)nn2(x1a)(x2a)(xN11a)n2再取正整数NN足够大，使当nN时，右边第一项也小于2.这样，当nN时，就会1有

11、yan

12、22，即证明了有极限x12xxnlimaxlimnnnnx12xxn请注意：有极限lim，不一定有极限limx！考虑数列．．．nnnnn1(1)xn:1,0,1,0,1,0

13、,,,2【应用】作为例1的应用，例如11113n23n1123nn⑴limlim0；⑵limlimn1.nnnnnnn例2若xn0(n1,2,)且有极限limxn，则几何平均值的数列nznxxx(n1,2,)n12n也有极限且limnxx12xnnlimx.nn证根据极限单调性，必有limxn0.首先设limxn0，为任意给定的正数.先取正nn整数N1使xn2(nN1)，则nN1nnxxxxnxxxnN1xxxn()n12N1n12N112N12(你知

14、道为什么吗？见第0章题33)因此，必有正整数NN，使当nN时，nxx12xn，即1limnxx12xnn0limxnn【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话,根据例1的结论,则有nx12xxn0xx12xn0(n)n2526第一篇微积分浅释所以limnxx12xnn0limx.nnxn其次，设limxan0，为任意给定的正数(不妨认为1).因为lim1，所以有nna正整数N使xn11(nN)a从而有nNnNxx12xNnnznxx12xnxx12xNn(1)n

15、n(1)aaaaaaaaaa让n，则得zn1lim1(你知道为什么吗？见第0章题33)nazn由于正数可以任意地小，故有lim1，即limnxx12xnnalimxnannxn1【应用】作为上述结论的应用，若xnn0(1,2,)且有极限lim，则也有极限nxnlimnxn且nnlimxn1limxnnnxn这是因为nxx12xnxnxn1limxnlimnlimlimnn1x1xn1(例2)nxn1nxnnlimxn1请你根据limx