从一个直观疏忽到一个认识深化.pdf

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1、中学数学杂志2014年第1期诼织醋彩毛霎中国数学课程中的问题解决具有以下特征：一般息，很少要求学生自己去挖掘除基本概念以外的隐含没有实际背景；涉及连续的、环环相扣的数学推理；需条件；一道题目一般只涉及单个知识点，较少要求学要学生主动地挖掘隐含的信息；知识的综合程度高，生去建立不同概念之间的联系；不必担心会因为信息要求学生主动建立概念、命题之间的联系；可以分解的繁杂而顾此失彼；不同的题目之间缺少联系，很少为一系列的基本命题的组合，也可以通过局部调整产出现相互组合、或者相互化归的情形；题型的积累与生各种新的变式题，因此题型的积累与相应的解题经解题的经验并不重要；解

2、题进程通常是单一方向的，验非常重要；技巧性高，要求解题者熟练掌握双基，从即从条件到结论；一般都有现成的解题程序，学生很而把注意力集中在寻找解题策略上；需要较长的解题少面临解题思路的抉择与调整；一般只需要几分钟就时问，高度集中的注意力，较强的意志力和较高的自能解决问题；不同水平的学生通常有不同的要求，因信心；对智力是一个挑战，绝大多数解题者都会遇到此，绝大多数学生都不会遇到太多的解题障碍；背景各种困难，许多人会遭受失败；一旦获解，则会产生极的复杂性常常超过数学本身的复杂性．大的满足感；背景简单、清晰，一般不需要运用H常生总的来说，数学本身正以前所未有的“纯数学与

3、活的实际经验．应用数学，逻辑演绎与实验归纳”相统一的方向发展．英国数学课程中的问题解决具有以下特征：通常这表明，数学教育改革也应顺应时代的发展，在“两具有实际或具体的背景；一般不涉及推理，或者只要极”之间寻求最佳的动态平衡．求一步推理；题目中一般都包含有解题所需的全部信从一个直观疏忽到一个认识深化陕西师范大学数学系710062罗增儒本文谈笔者的一段解题经历：从一道山东高考题得点P(x，Y)的坐标为的直观疏忽出发，导致一个认识的深化．首先看题目．rP=OA—BC=2一sin2，例1(2012年高考数学y【Yp=AC+BP=1一cos2，山东卷理科第l6题)如图l

4、，一所以=(2一sin2，1一cos2)，／在平面直角坐标系xOy中，一1解法2如图3，依题意，、单位圆的圆心的初始位置在、滚动后的圆心为点C(2，1)，012(0，1)，此时圆上一点P的位点A为(2，0)，PCA=2，则置在(0，0)，圆在轴上沿正图1由切线的性质知，OP=OA=向滚动．当圆滚动到圆心位于2．／_．POA=1T一2．(2，1)时，OP的坐标为故点P的坐标为图31一个直观疏忽rP：OPeosZ_POA=2cos(盯一2)=一2cos2，1．1解法的呈现【YP=OPsinPOA=2sin(竹一2)=2sin2，笔者曾把这道题目作为解答题来研究，得

5、出3个所以DPl=(一2cos2，2sin2)．答案．思考既然0F有两个不同的表达式(三角式存解法1依题意，圆心位于在形异而值同现象)，那它就应该是相等的，令点C(2，1)时圆滚动了2个单位-sin2=-2，，{1一e。s2：2sin2，’解出cos2一扣了，T4．·弧长，点P旋转了二1=2弧度．如⋯21进而可得(2一sin2，1一cos2)=(一2cos2，2sin2)图2，过C作两坐标轴的垂线，过点P作轴的垂线，有P=(詈，8)，所以这个题目还应该有第三个答案，下述图2=2，／BPC：一2，解法3求出了第三个表达形式．则BC=sin(1T一2)=sin2，

6、解法3如图3，依题意，滚动后的圆心为点C(2，BP=COS(一2)=一cos2，1)，点‘4为(2，0)，／PCA=2，则由切线的性质知，0P由余弦定理，有2f。：—Cp2+CA-pA2在RtACOP中，OC：，CP=1，有z—：cos2,Jcos_PCA—一OP2’sinP。c=一CP1：cos／_POC==m一OC，’【0<／_PCA，cos2<1T得PCA=2．从而所以=(2一sin2，1一cos2)满足题意，为所fc。sPOA：c。s2／_POC=c0s2／_．COP~一2一一p了3，求．这时．=(2一sin2，1一cos2)·(一sin2，一cos2

7、)删一sic。：÷，=一2sin2一cos2+1得点P的坐标为<一2sin一3一一。∞。了++1lP0Pc。sPDA了，=1一√3+÷<0．可见，与并不垂直，OP不是圆的切线．这YPOPsinP0A了，就说明，解法2，解法3假设“DP为圆的切线”是不对所以=(詈，了8)．的．(2)检验=(一2cos2，2sin2)知不适合题意·这样，用三个方法可以得出三个答案：P(2一sin2，1因为c(2，1)，所以cP：(一2cos2—2，2sin2—～。。2)-Pl(一2c。s2，2sin2)、P(詈，了8)，并且只要承认1)，有Il：(一2cos2—2)+(2sin2

8、一1)cos2=一了3，sin2：÷，