数学创新方法漫谈(二)——归纳法和类比法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2O卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vo1．20NO．22006年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)April2006文章编号：1006—7353(2006)02—0015(04)一04数学创新方法漫谈(二)——归纳法和类比法陈志云，郭朋贵，蒋永红(1I华中师范大学数学与统计学院，武汉430079；2．中南民族大学预科部。武汉430074)摘要：归纳法和类比法是数学创新的基本方法。

2、本文在给出归纳法和类比法定义的基础上，分析了其在数学学科发展中的重要作用，并从学生创新的角度出发。介绍了利用归纳法和类比法进行数学创新的基本途径。关键词：归纳法；类比法；数学创新；数学创新方法中图分类号：G633．6文献标识码：A数学家拉普拉斯曾说过：“数学本身赖以获ff一53十。f十f’得真理的重要手段就是归纳和类比。”在人类的461—449+7+5—257+l99+5认识活动中，人们常常通过事物的个性来认识事等个别例子看出，每次相加的三个数都是素数，于物的共性，通过特殊结论归纳出一般结果，或者通是提出猜想：

3、所有大于5的奇数都可以分解为三过两事物的类比发现一事物的某一特性。因此，归个素数之和。欧拉在此基础上补充提出：4以后的纳法和类比法是数学中两个常用且重要的思想方每个偶数都可以分解为两个素数之和，这二者后法，是数学发现和创新的有效方法。来即称为歌德巴赫猜想。又例如欧拉的多面体公1．归纳法和类比法式，最初在考虑了如表l所示几种特殊多面体的归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的面数、顶点数和棱数之后，通过归纳得出猜想：对456推理方法，即从几个单称判断或特称判断(前提)于任何多面体，有F+V—E+2，即面数加顶点数得

4、出一个新的全称判断(结论)的推理。它根据考等于棱数加2．察分析的对象是否完全而分为完全归纳法和不完0表1全归纳法。完全归纳法是指通过考察一类事物的多面体面(F)顶点(V)棱(E)全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这三棱锥类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理四棱锥三棱柱方法。不完全归纳法是根据考察一类事物的部分五棱锥对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一立方体属性的一般结论的归纳推理方法。在数学创新中，正八面体经常使用的是不完全归纳法。五棱柱归纳法在数学发现中起到了举足轻重的作截角立方体用，数学

5、中的许多定理、猜想都是归纳总结出来“塔顶”体的。如著名的歌德巴赫猜想，1972年，德国数学家但是，当“轮胎状”镶嵌画用的框架多面体出歌德巴赫根据奇数现后，上述猜想就不成立了。这时，再通过归纳研*收稿日期：2006—01—05作者简介：陈志云(1947一)，男，副教授。主要从事数学教育论教学及其研究工作。15维普资讯http://www.cqvip.com第2O卷第2期高等函授学报(自然科学版)VoI．2ONo．22006年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(Natu

6、ralSciences)April2006究，得出新的猜想：任何凸多面体的面、顶点和棱上画出的直角三角形分别相似于以其两直角边为的数目，满足关系式F+V—E+2．即得到大家肯斜边所画出的两个直角三角形，且显然整个三角定的欧拉多面体公式。形的面积等于他的两部分面积之和。从而勾股定归纳法在数学的发展中也是功不可没的。例理得证。如，人们看到一元二次方程可以用根式求解，三次从数学史上可以看出，类比推动了数学的发和四次方程也能用根式求解，于是猜想一般的展。如柯尔莫戈洛夫的公理化概率论，柯尔莫戈洛次方程也一定能用根式求解，

7、然而这一猜想是不夫将概率和测度做类比，把概率看作抽象的事件正确的。为了否定这一猜想，伽罗瓦创立了群论，空间中事件集上的可数可加测度。概率与直线上阿贝尔证明了五次及五次以上方程一般不能用根的测度对应关系如表2．式求解。表2所谓类比法是指根据两个或两类事物在某些直线上的测度概率属性上都相同或相似，而推出它们在其它属性上全直线Z事件空间X也相同或相似的推理方法，也称为类比或类比点集E事件集A推理。E—re(E)(度)A—P(A)(姆率)m(E)一(E)P((A。))一P(A)数学中的许多定理、公式及其证明都是靠类En

8、EA，nA比获得的。例如，欧拉借助类比发现了无穷级数∞．由于这样的类比关系，概率论依托勒贝格发∑1的和，他拿代数方程口。+nx-t-a：z+⋯+展起来的实变函数论才获得长足的发展。而四元^=l¨一一3—5数则是直接类比二元数建构的结果。口一z=0与三角方程sinx一0或亍一+一由上可知，归纳法和类比法是数学发现的基一71本方法，在数学创新中起着重大作用。不仅如此，J'+⋯=0类比，从而