数理逻辑与二元关系2.ppt

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1、数理逻辑与二元关系数学科学学院20九月2021任课教师:杨春1.3无限集质变无限集合无法用确切的元素个数来描述，因此，无限集合有许多有限集合所没有的一些特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改。有限集无限集量变1.3.1可数集合和不可数集合二十世纪初，集合成为数学的基本概念之后，由冯•诺依曼（VonNeumann，J）用集合的方式来定义自然数取得了成功，提出了用序列Φ，{Φ}，{Φ,{Φ}}，{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}，······来定义自然数。自然数集合N的定义N，若nN，则n′:＝n{n}N。也即：0:＝，1:＝{}

2、＝{0}，2:＝{,{}}＝{0,1}...n:＝{0,1,2,3,...n-1}...故N＝{0,1,2,3,...,n,...}等势的概念定义1.3.1设A，B是两个集合，若在A，B之间存在1-1对应的关系：ψ：A→B则称A与B是等势的(equipotential)，记为：AB。也称集合A与B等势(equipotent)。注意：若A＝B，则AB。若AB，则A＝B（×）（∨）可数集合(可列集）定义1.3.2凡是与自然数集合等势的集合，统称为可数集合(可列集)(CountableSet)。可数集合记为：א0(读作阿列夫零)。例1.3.1下列集合都是可数集合：1)O+＝{x

3、xN，

4、x是正奇数};2)P＝{x

5、xN，x是素数};3)有理数集合Q.解：1）在O+与N之间建立1-1对应的关系f：N→O+如下：N０１２３４...ｎ...ｆ↓↓↓↓↓...↓...O+１３５７９...2n+1...所以，O+是可数集合。2）在P与N之间建立1-1对应的关系f：N→P如下：N０１２３４...ｆ↓↓↓↓↓...P２３５７11...所以，P是可数集合。3）…-3/1[18]-2/1[5]-1/1[4]0/1[0]1/1[1]2/1[10]-3/1[11]……-3/2[17]-2/2-1/2[3]0/21/2[2]2/23/2[12]……-3/3-2/3[6]-1/3[7]0/31/3

6、[8]2/3[9]3/3…-3/4[16]-2/4-1/4[15]0/41/4[14]2/43/4[13]…所以，有理数集合必是可数集合。→定理1.3.1两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数；有限集合不和其任何真子集等势；可数集合可以和其可数的真子集等势。不可数集合定义1.3.3开区间(0,1)称为不可数集合，其基数设为א(读作阿列夫)；凡是与开区间(0,1)等势的集合都是不可数集合。例1.3.2(1)闭区间[0,1]是不可数集合；(2)实数集合R是不可数集合。解（1）在闭区间[0,1]和开区间(0,1)之间建立如下对应关系：例1.

7、3.2(续)则上述对应是一一对应的关系。所以[0，1]与（0，1）一定是等势的，即[0，1]是不可数集合。（2）在实数集Ｒ和开区间(0,1)之间建立如下对应关系：显然此对应关系是一一对应关系，即（0，1）与R之间是等势的，所以R是一个不可数集合。1.4集合的应用例1.4.1用H代表硬币正面，T代表硬币反面。试写出当扔出三个硬币时可能出现的结果所组成的集合。解:8种可能：{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}。但这三个硬币没有顺序之分，即HHT和HTH是同一个元素，所以A={HHH，HHT，HTT，TTT}。例1.4.2一个正三角形被均分为三个小三角形，如图1.4.

8、1所示。现用黑、白二色对其小三角形着色，假设经旋转能使之重合的图像算一种。试写出由不同图像构成的集合。图1.4.1图1.4.2解因为每个小三角形均可着色，三个小三角形共有2×2×2=8种着色方案，所以可得8种不同的图像。又因为经旋转能使之重合的图像算一种，所以共有4种不同的着色方案。因此由不同图像构成的集合为{1,2,3,4}。1432ThankYou!