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时间:2020-04-01
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1、直线与平面垂直的判定典型例题目标导航1.知识与技能:理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义,会用空间图形及数学符号分别表示直线与平面垂直;理解并掌握直线与平面垂直的判定定理,并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。2.过程与方法:利用等价转化的思想证明立体几何问题;提高学生逻辑思维能力;培养学生由图形想象出位置关系的能力。3.情感态度与价值观:利用所学知识解释生活现象,激发学生学习数学的积极性,能辩证的看待问题;学会分析事物间的关系,进而选择解决问题的途径。要点聚焦1.直线与平面垂直的定义:直线与平面内的任意一条直线都垂直,称直线与平面
2、互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时,它们的唯一公共点叫做垂足。2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特例。直线与平面相交但不垂直时,直线叫做平面的斜线,直线与平面的交点叫做斜足。3.直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直线与此平面垂直。4.直线与平面垂直的定义中的“任何一条直线”这个词语与“所有直线”是同义语,但与“无数条直线”不同,定义的实质就是直线与平面的所有直线都垂直。5.直线与平面垂直的判定定理可以用符号表示:6.“aα,bα,a∩b=P,l⊥a,l⊥b,l⊥α”7.直线与平面垂直的
3、方法:(1)若一条直线垂直于平面内的任何直线,则这条直线垂直于平面;(定义)(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于平面;(判定定理)(3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面。经典题例例1判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行( )2.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直( )3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( )4.过点A垂直
4、于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内( )5.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面( )分析:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。解答:1.直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行,②异面,因此应打×2.该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系,若为平行,则该命题应打“√”号;若为相交,则该命题应打“×”号,正是因为这两种可能同时具备,因此,不说明面内这无数条线的位置关系,则该命题应打“×”号3.2垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆
5、用,则该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”4.前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点A垂直于直线a的平面惟一,因此,过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内,∴该命题应打“√”5.三条共点直线两两垂直,设为a,b,c且a,b,c共点于O,∵a⊥b,a⊥c,b∩c=0,且c确定一平面,设为α,则a⊥α,同理可知b垂直于由a,c确定的平面,c垂直于由a,b确定的平面∴该命题应打“√”点评:此类问题必须做到:概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。
6、例2如图2-35:在空间四边形ABCD中,已知BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH⊥平面BCD。分析:要证AH⊥平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明:取AB中点F,连结CF、DF,∵AC=BC,∴CF⊥AB,又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF,又CD平面CDF,∴CD⊥AB又CD⊥BE,∴CD⊥平面ABE,CD⊥AH又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD。图2-35点评:证明线面垂直,需转化为线线垂直,而线线垂直,又可通过证线面垂直来实现。在这里,定义可以
7、双向使用,即直线a垂直于平面α内的任何直线,则a⊥α,反之,若a⊥α,则a垂直于平面α内的任何直线。2
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