江苏省南通市海安高级中学2016-2017高一下期末数学试题.doc

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1、2016-2017学年末学业质量监测高一数学参考公式：锥体的体积，其中为锥体的底面积，为高.第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.函数的最小正周期为__________．2.已知集合，则___________．3.函数的定义域为___________．4.在中，设角的对边分别为.若，则角的大小为_________．5.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为，则该棱锥的体积为__________.6.设为单位向量，且的夹角为，则的值为_________.7.已知方程的根在区间上，则的值

2、为_________．8.的值为_________．9.在正方体中，与垂直的面对角线的条数是___________．10.设函数的图象过点，则的值为__________．11.如图，三个相同的正方形相接，则的值为__________．12.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.13.已知，则的值为．14.已知正数满足，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，点分别在棱

3、上（均异于端点），且.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.16.设不共线，且.（1）若，求证：三点共线；（2）若三点共线，问：是否为定值？并说明理由.17.已知的外接圆的半径为1，为锐角，且.（1）若，求的长；（2）若，求的值.18.某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）.（1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润；（2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费

4、+生产成本）19.设为实数，函数.（1）求证：不是上的奇函数；（2）若是上的单调函数，求实数的值；（3）若函数在区间上恰有3个不同的零点，求实数的取值范围.20.设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前项和为，数列满足.（1）若，求的值；（2）若数列为等差数列，求；（3）在（1）的条件下，求证：数列中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.试卷答案一、填空题1.2.3.4.5.6.7.18.20769.610.311.12.813.14.9二、解答题15.证明：（1）在直三棱柱中，平面，因为平面，所以．又，，平面，所以平面，又平面，所以

5、平面平面；（2）因为，由（1）同理可得，平面，又由（1）知，平面，所以，又平面，平面，所以平面．16．证明：（1）当时，，所以，即，所以，所以三点共线．（2）为定值1，证明如下：因为三点共线，所以，不妨设，所以，即，又，且不共线，由平面向量的基本定理，得，所以（定值）．17．解：（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，在中，由余弦定理得，，解得，所以的长为；（2）由（1）知，，所以．在中，，所以．18．解：（1）当时，利润（万元）；（2）考虑时，利润，令得，，所以；（3）当时，由（2）知，所以当时，（万元），当时，利润，因为（当且仅当，即时，取“=”

6、），所以（万元），综上，当时，（万元）．答：（1）生产6百套此款服装，该厂获得利润3.7万元；（2）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（3）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元．19．证明：（1）假设是上的奇函数，则对任意的，都有（*）取，得，即，解得，此时，所以，从而，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数；（2），①当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；②当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上

7、的单调减函数．综上，．（3）①当时，由（2）知，是上的单调减函数，至多1个零点，不符；②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，所以在上至多1个零点，不符；③当时，由（2）知，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．因为在区间上恰有3个零点，所以，，解得或，又，故，综上，实数的取值范围是．20．解：（1）设等差数列的公差为，因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，（1）由得，，解得，所以；（2）因为数列为等差数列，所以，即，所以，解得（已舍），此时，；（3）由（1）知，等差数列的通项公式，下证：对任意的，都是中的项，证明：当时，因为，所以

8、，其中，又时，，所以对任意的，都是中的项，所以，数列中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．