高考数学线性规划题型总结.doc

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1、2015年高考线性规划归类解析图1书、11　线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。一、线性约束条件----直线型例1、（没有参数）（1）设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。(若求z＝x＋2y－4的最大值呢？若求z=呢？)（1）解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18（整点最优解问题）（2）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)95(2).解析：如图７，作出可行域，由，它表示为斜率为

2、，纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，（有参数）（3）．若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．（3）．解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－

3、则实数等于(4).答案：5解：画出满足的可行域，可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故，解得，代入得4最优解唯一问题和最优解有无数个问题（5）.已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。(5).解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一

4、。图2二、已知线性约束条件-----距离（距离的平方）型例2、（1）已知则的最小值是.解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。变式（2）．已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的最小值____（2）．答案：1解析：不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示．记目标函数为z＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1.因为点(1,0)到直线x＝－1的距离为2，到直线y＝3的距离为3，到直线x－y＋1＝0的距离为＝，故目标函数的最小值为()2－1＝1

5、.点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。三、线性约束条件————面积型例３．（没有参数）（１）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4(C)(D)2（1）.解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。（有参数）（２）．若不等式组的平面区域的面积为3，则实数a的值是________．（２）.答案：2．解析：作出可行域，如图中阴

6、影部分所示，区域面积S＝×4×2＝3，解得a＝2.(3).已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是。(3).答案：.依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得.由可得，依题意应有，因此（，舍去）故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值．点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

7、四、线性约束条件——斜率型例４.已知求（１）ｚ＝(２)z＝的范围．解：作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(２)z＝2×表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，因此kQA＝，kQB＝，故z的范围为.(12分)4五．其他例5．(1).若点在直线的下方区域，则实数的取值范围是。(1).答案：(2).已知点和点在直线的异侧，则实数的取值范围是。(2).答案：（3）.已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)(B)(C)(D)（3）.解析：双曲线的两

8、条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。(3).点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。4