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《高中数学知识要点重温（6）数列综合知识点分析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学知识要点重温（6）数列综合1.遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用使用这个结论的程序是：写出Sn的表达式，再“后退”一步（降标）得Sn-1的表达式，作差；得an的表达式。注意：n≥2的要求切不可疏忽！若Sn的表达式无法写出，亦可将an表示成Sn-Sn-1，得到一个关于Sn的递推关系后，进一步求解。[举例1]数列的前n项和=an+b,(a0,且a1),则数列成等比数列的充要条件是__________解析：降标得：=an-1+b,(n≥2),作差得：an=an-an-1=an-1(a-1),(n≥2)再“升标”得：an+1=an(a-1)；∴，(n
2、≥2)，∴数列成等比数列的充要条件是：，即b=–1。[举例2]数列中，a1=1，Sn为数列{}的前n项和，n≥2时=3Sn，则Sn=。解析：思路一：同[举例1]得：an–an-1=3an(n≥3)(n≥3)∴数列从第二项开始成等比数列（注意：不是从第三项开始），又a2=3（a1+a2）得a2=,∴n≥2时=a2qn-2=()()n-2(这个地方极容易出错)，即=∴Sn==，注意到n=1和n≥2可以统一，∴Sn=。（冗长烦琐，步步荆棘！）思路二：要求的不是而是Sn，可以考虑在=3Sn中用Sn-Sn-1代换（体现的是“消元”的思想，思路一是加减消元，消去Sn；思路二是
3、代入消元，消去）得：Sn-Sn-1=3Sn，（n≥2），即，（n≥2），又S1=1，∴Sn=。[巩固1]数列{an}的前n项和，数列{bn}满足：.用心爱心专心（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。[巩固2]等差数列的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列的第二项、第三项、第四项求数列与的通项公式；设数列对任意整数n都有成立,求c1+c2+…+c2007的值.2.形如：+的递推数列，求通项时先“移项”得=后，再用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法；形如：an+1=qan+p(a1=a
4、，p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项（在递推的过程中把握规律）或用待定系数法构造等比数列（公比为q）；形如：（为常数）的递推数列求通项，先“取倒数”，可得数列{}是等差数列（公差为）。[举例]①已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a10；解析：an+1-an=2n-1，分别取n=1，2，…9，叠加得：a10-a1=（2+22+…+29）-9=210-11a10=210-10.②若数列{an}满足a1=，（n≥2）,则an=；解析：“取倒数”得：（n≥2），记数列{+}为等比数列，且公比为2，（为常数），则+=2（+）（n≥2
5、），可见=-1，而-1=2∴-1=2n,=2n+1,an=。注：（ⅰ）有时能够看、猜、试出来，未必非要“待定系数”。（ⅱ）数列{+}为等比数列，其首项是+而不是a1，同样，通项是+而不是an，这是很容易出错的一个地方。（ⅲ）若递推关系变为an+1=qan+pn,则也相应变为用心爱心专心pn，其他做法不变。③已知数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2，则an。解析：“降标”得a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=an，（n≥2）作差得(n+1)an=an+1（n≥2）（n≥2）分别取n=2，3，…，n-1,连乘得：，又a2=2
6、得an=n!（n≥2）而a1=a2,∴an=。[提高]某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采用分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，若商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),则该顾客每月付款的数额为______3.应掌握数列求和的常用方法：应用公式（必须要记住几个常见数列的前n项和）、折项分组（几个数列的和、差）、裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项差后叠加）、错位相减（适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列）、倒序相加等，要根据不同数列的特点合理选择求和方法（其中最重要、最常见的是裂项）。[举例]
7、①数列中，若，数列满足，则数列的前项和为。解析：求的过程请读者自己完成。=，∴数列的前项和为：。一般地：通项为分式的数列求和多用“裂项”，“裂项”是“通分”的逆运算，可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。②已知=，Sn为数列{}的前n项和，=nSn，求数列{}的前n项和Tn；解析：Sn=-2=n×-2n,Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×-2（1+2+3+…+n）(视数列{}的前n项和为两个数列的前n项和的差，此即“分组求和”)记：Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×24+…+（n-1）×+n×-Rn=1×22+1×23+
8、1×24+
