（新课程）高中数学 3-1 二维形式的柯西不等式知能达标演练 新人教A版选修4-5.doc

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1、第三讲　柯西不等式与排序不等式第一节　二维形式的柯西不等式一、选择题1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)．A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．[－，]解析　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∴

2、a－b

3、≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．答案　A2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)．A.B．1C．3D．9解析　∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.∴2x＋y的最大值为.答案　A3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为

4、(　　)．A．4B．2C．1D.解析　≥2＝4，故选A.答案　A4．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)．A．P>QB．P≥QC．P0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝(a＋b)．又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·，即a＝b，∴>a＋b.即P>Q.答案　A二、填空题5．函数y＝＋2的最大值是________．解析　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.答案　6．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋

5、，Q＝·，则P与Q的大小________．解析　由柯西不等式，得P＝＋≤×＝·＝Q.答案　P≤Q7．函数y＝2cosx＋3的最大值为________．解析　y＝2cosx＋3＝2cosx＋3≤＝.当且仅当＝，即tanx＝±时，函数有最大值.答案　8．函数y＝2＋的最大值为________．解析　y＝2＋＝＋1·≤·＝·＝3.当且仅当·1＝·取等号．即2－2x＝4x＋2，∴x＝0时取等号．3答案　3三、解答题9．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．解　由柯西不等式(4x2＋9y

6、2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，∴4x2＋9y2≥.当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号．由　得∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.10．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．解　∵(a＋b)＝[()2＋()2]≥2＝(1＋1)2＝4.∴2≥4，即≥2.当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.11．已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求证：

7、acosθ＋bsinθ

8、≤1.证明　∵(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2

9、θ)＝1·1＝1，∴

10、acosθ＋bsinθ

11、≤1.3